The Subspace Topology
ليكن لدينا
فضاء توبولوجي ، وليكن
، و لنعرف الدالة
( دالة Inclusion ) أي :![الفضاء التوبولوجي الجزئي 1506f5455e0836cb0cc278a319270b8c](/math/files/tex/1506f5455e0836cb0cc278a319270b8c.png)
التوبولوجي المستحث على
بواسطة
و الدالة
يسمى فضاء توبولوجي جزئي و يرمز للفضاء التوبولوجي المستحث بالرمز
.
انظر موضوع [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط].
ايمكن صياغة النظرية[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] السابقة بواسطة النظرية الآتية :
نظرية (1) :
ليكن
فضاء توبولوجي ، و ليكن
فضاء توبولوجي جزئي ، و بالتالي :
إذا و فقط إذا كان يوجد لدينا
بحيث ![الفضاء التوبولوجي الجزئي 327d3de8e4892de7feb56ef9409ef86d](/math/files/tex/327d3de8e4892de7feb56ef9409ef86d.png)
الإثبات :
لتكن
و بالتالي :
:
يوجد لدينا
بحيث
.
يوجد لدينا
بحيث
.
يوجد لدينا
بحيث
.
يوجد لدينا
بحيث
.
إذن النظرية السابقة تخبرنا أنه يمكن معرفة عناصر المجموعات المفتوحة للفضاء التوبولوجي الجزئي عن طريق أخذ التقاطعات للمجموعات المفتوحة في الفضاء التوبولوجي الأصلي مع الفضاء الجزئي ، أي بمعنى آخر :![الفضاء التوبولوجي الجزئي 17a124c9a285affa332e59e4426f0bfe](/math/files/tex/17a124c9a285affa332e59e4426f0bfe.png)
نتيجة[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] (*) :
ليكن
فضاء توبولوجي ، و ليكن
فضاء توبولوجي جزئي ، و بالتالي :
مجموع مغلقة في
إذا و فقط إذا كان يوجد لدينا
مجموعة مغلقة[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] في
بحيث ![الفضاء التوبولوجي الجزئي 327d3de8e4892de7feb56ef9409ef86d](/math/files/tex/327d3de8e4892de7feb56ef9409ef86d.png)
الإثبات :
طبق النظرية (1) على المجموعة
.
مثال (*) :
ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي المعتاد على
، و ليكن لدينا
، جد الشكل العام للمجموعات المفتوحة في
.
الحل :
الآن يصعب علينا دراسة جميع تقاطعات المجموعات المفتوحة في
، و بالتالي يمكن فقط أن ندرسها عن طريق أخذ فترة مفتوحة و لنقل أنها
، و دراسة الحالات عليها و سيكون التوبولوجي المكون على
هو بأخذ جميع الإتحادات الممكنة و الذي بالأصل تعريف الأساس[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] .
و بالتالي :![الفضاء التوبولوجي الجزئي 0a0258a9fcc1a8501a349804e03f2a7b](/math/files/tex/0a0258a9fcc1a8501a349804e03f2a7b.png)
لاحظ أن شكل المجموعات المفتوحة في الحالة الثانية و الثالثة و الآخيرة ، عبارة عن مجموعات مفتوحة في
و لكن ليست مفتوحة في
.
و بالتالي :
فمثلاً :
في المثال السابق هل
مجموعة مفتوحة في
؟
بالتأكيد ما دام
مجموعة مفتوحة في
بحيث :![الفضاء التوبولوجي الجزئي 921e08a8b0ad78ee28c219549706483e](/math/files/tex/921e08a8b0ad78ee28c219549706483e.png)
و لكن
ليست مجموعة مفتوحة في
بسبب أنه لا يوجد مجموعة مفتوحة نقاطعها مع
بحيث يعطنا الفترة المذكورة .
لاحظ إن دراسة الفضاء التوبولوجي الجزئي مهم جداً في تكوين أي توبولوجي نريد من أي مجموعة جزئية في داخل الفضاء الأصلي ، فمثلاً :
ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي المعتاد على
، فإذا كان لدينا
، فإن الفضاء التوبولوجي الجزئي على
هو :![الفضاء التوبولوجي الجزئي 2c27081b54060ee2ce42c0e39f31f1c1](/math/files/tex/2c27081b54060ee2ce42c0e39f31f1c1.png)
لاحظ لقد استطعنا معرفة شكل العناصر للمجموعات المفتوحة في
الذي له مهام كثيرة في تكوني أمثلة مضادة للحقائق المزيفة .
السؤال الذي يطرح الآن :
متى تكون المجموعات المفتوحة (المغلقة) في
هي مجموعات مفتوحة (مغلقة) في
؟
إجابة هذا السؤال يكون بالنظرية الآتية :
نظرية (2) :
ليكن لدينا
فضاء توبولوجي ، و ليكن لدينا
فضاء توبولوجي جزئي ، و ليكن لدينا
و بالتالي :
1)
مجموعة مفتوحة في
إذا و فقط إذا كانت
مجموعة مفتوحة في
.
2)
مجموعة مغلقة في
إذا و فقط إذا كانت
مجموعة مغلقة في
.
الإثبات :
1) حسب نظرية(1) :
إذا و فقط إذا كان يوجد لدينا مجموعة مفتوحة
بحيث:![الفضاء التوبولوجي الجزئي 638d2c0743155caa6babb0ccc1e748e7](/math/files/tex/638d2c0743155caa6babb0ccc1e748e7.png)
و لكن
مجموعة مفتوحة في
و بالتالي
.
2) بنفس طريقة إثبات فرع (1) مع تطبيق[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] نتيجة (*).
نلاحظ أنه لو تم أخذ متتمة المجموعات في مثال (*) بالنسبة للمجموعة
سنجد جميع المجموعات مغلقة في
بسبب أن
مجموعة مغلقة .
لاحظ ذلك :![الفضاء التوبولوجي الجزئي 4dc1ec7aa540ab82c9c9d8a75c71312b](/math/files/tex/4dc1ec7aa540ab82c9c9d8a75c71312b.png)
لاحظ أن جميع المجموعات مغلقة .
تمارين :
السؤال الأول :
في الفضاء التوبولوجي
و الفضاء التوبولوجي
، و لتكن ![الفضاء التوبولوجي الجزئي 7294f3b988aca82f7bd8988a8ec78fd4](/math/files/tex/7294f3b988aca82f7bd8988a8ec78fd4.png)
1) أعطي شكلاً بسيطاً للمجموعات المفتوحة في
.
2) هات فضاء توبولوجي جزئي من
بحيث يكون كل مجموعة مفتوحة فيه عبارة عن مجموعة مفتوحة في التوبولوجي للشعاع الأيسر .
3) نفس مطلوب(2) و لكن
و بدل المجموعات المفتوحة اجعلها مغلقة .
السؤال الثاني :
ليكن لدينا
توبولوجي على
بحيث ![الفضاء التوبولوجي الجزئي Bea4d0ee024c2375076d07b9f37ca899](/math/files/tex/bea4d0ee024c2375076d07b9f37ca899.png)
و ليكن لدينا
، ماذا تستطيع أن تقول عن مقارنة التوبولوجي
.
المراجع :
1) General Topology , Paul Long
2)
تعريف :
ليكن لدينا
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 3e63bf1a38d519df6a47a0453c356d48](/math/files/tex/3e63bf1a38d519df6a47a0453c356d48.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي B26fa7d6bb51f2fbda4b021ce18bb431](/math/files/tex/b26fa7d6bb51f2fbda4b021ce18bb431.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي E4610d0d144a7f33de515f5d038c6d6f](/math/files/tex/e4610d0d144a7f33de515f5d038c6d6f.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 1506f5455e0836cb0cc278a319270b8c](/math/files/tex/1506f5455e0836cb0cc278a319270b8c.png)
التوبولوجي المستحث على
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29](/math/files/tex/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 02129bb861061d1a052c592e2dc6b383](/math/files/tex/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي Dd7536794b63bf90eccfd37f9b147d7f](/math/files/tex/dd7536794b63bf90eccfd37f9b147d7f.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 26ce216d8cc9748dff346a22d43978c7](/math/files/tex/26ce216d8cc9748dff346a22d43978c7.png)
انظر موضوع [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط].
ايمكن صياغة النظرية[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] السابقة بواسطة النظرية الآتية :
نظرية (1) :
ليكن
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 3e63bf1a38d519df6a47a0453c356d48](/math/files/tex/3e63bf1a38d519df6a47a0453c356d48.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 26ce216d8cc9748dff346a22d43978c7](/math/files/tex/26ce216d8cc9748dff346a22d43978c7.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 9b0180e316d7f72ce9bbdee24cc5a9f6](/math/files/tex/9b0180e316d7f72ce9bbdee24cc5a9f6.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي F19db6e3b5c32cbb403cb390a9dc3be6](/math/files/tex/f19db6e3b5c32cbb403cb390a9dc3be6.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 327d3de8e4892de7feb56ef9409ef86d](/math/files/tex/327d3de8e4892de7feb56ef9409ef86d.png)
الإثبات :
لتكن
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 9b0180e316d7f72ce9bbdee24cc5a9f6](/math/files/tex/9b0180e316d7f72ce9bbdee24cc5a9f6.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 9b0180e316d7f72ce9bbdee24cc5a9f6](/math/files/tex/9b0180e316d7f72ce9bbdee24cc5a9f6.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي D1b2196508f5da0f6602bc74b9b263f9](/math/files/tex/d1b2196508f5da0f6602bc74b9b263f9.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي F19db6e3b5c32cbb403cb390a9dc3be6](/math/files/tex/f19db6e3b5c32cbb403cb390a9dc3be6.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 46ceef949eb818487f98b0d5400acfe1](/math/files/tex/46ceef949eb818487f98b0d5400acfe1.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي D1b2196508f5da0f6602bc74b9b263f9](/math/files/tex/d1b2196508f5da0f6602bc74b9b263f9.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي F19db6e3b5c32cbb403cb390a9dc3be6](/math/files/tex/f19db6e3b5c32cbb403cb390a9dc3be6.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي B460f81c7f79c4785c984365a3630894](/math/files/tex/b460f81c7f79c4785c984365a3630894.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي D1b2196508f5da0f6602bc74b9b263f9](/math/files/tex/d1b2196508f5da0f6602bc74b9b263f9.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي F19db6e3b5c32cbb403cb390a9dc3be6](/math/files/tex/f19db6e3b5c32cbb403cb390a9dc3be6.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 7e89d11b81e7c1c9ea44c4219027219a](/math/files/tex/7e89d11b81e7c1c9ea44c4219027219a.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي D1b2196508f5da0f6602bc74b9b263f9](/math/files/tex/d1b2196508f5da0f6602bc74b9b263f9.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي F19db6e3b5c32cbb403cb390a9dc3be6](/math/files/tex/f19db6e3b5c32cbb403cb390a9dc3be6.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 9605f546a2781c43e227d56d14009208](/math/files/tex/9605f546a2781c43e227d56d14009208.png)
إذن النظرية السابقة تخبرنا أنه يمكن معرفة عناصر المجموعات المفتوحة للفضاء التوبولوجي الجزئي عن طريق أخذ التقاطعات للمجموعات المفتوحة في الفضاء التوبولوجي الأصلي مع الفضاء الجزئي ، أي بمعنى آخر :
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 17a124c9a285affa332e59e4426f0bfe](/math/files/tex/17a124c9a285affa332e59e4426f0bfe.png)
نتيجة[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] (*) :
ليكن
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 3e63bf1a38d519df6a47a0453c356d48](/math/files/tex/3e63bf1a38d519df6a47a0453c356d48.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 26ce216d8cc9748dff346a22d43978c7](/math/files/tex/26ce216d8cc9748dff346a22d43978c7.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 4c614360da93c0a041b22e537de151eb](/math/files/tex/4c614360da93c0a041b22e537de151eb.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29](/math/files/tex/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 5206560a306a2e085a437fd258eb57ce](/math/files/tex/5206560a306a2e085a437fd258eb57ce.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 02129bb861061d1a052c592e2dc6b383](/math/files/tex/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 327d3de8e4892de7feb56ef9409ef86d](/math/files/tex/327d3de8e4892de7feb56ef9409ef86d.png)
الإثبات :
طبق النظرية (1) على المجموعة
![الفضاء التوبولوجي الجزئي Aba8ba141c3bb5b511fa885f597dea2e](/math/files/tex/aba8ba141c3bb5b511fa885f597dea2e.png)
مثال (*) :
ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي المعتاد على
![الفضاء التوبولوجي الجزئي A8d1c5da11e1f0f08159f73a859c4e70](/math/files/tex/a8d1c5da11e1f0f08159f73a859c4e70.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 36b072a3b46bba13cddcf31e25beff26](/math/files/tex/36b072a3b46bba13cddcf31e25beff26.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 5d4cf72ac2474014f278dac151047806](/math/files/tex/5d4cf72ac2474014f278dac151047806.png)
الحل :
الآن يصعب علينا دراسة جميع تقاطعات المجموعات المفتوحة في
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 0bd2e9c07987a33153b1cb87ff672f72](/math/files/tex/0bd2e9c07987a33153b1cb87ff672f72.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 2d05e1f15387f87456155cd96cc06235](/math/files/tex/2d05e1f15387f87456155cd96cc06235.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29](/math/files/tex/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png)
و بالتالي :
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 0a0258a9fcc1a8501a349804e03f2a7b](/math/files/tex/0a0258a9fcc1a8501a349804e03f2a7b.png)
لاحظ أن شكل المجموعات المفتوحة في الحالة الثانية و الثالثة و الآخيرة ، عبارة عن مجموعات مفتوحة في
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 5d4cf72ac2474014f278dac151047806](/math/files/tex/5d4cf72ac2474014f278dac151047806.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 0bd2e9c07987a33153b1cb87ff672f72](/math/files/tex/0bd2e9c07987a33153b1cb87ff672f72.png)
و بالتالي :
لا يشترط كون المجموعة مفتوحة[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] في
أن تكون مفتوحة في
.
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 5d4cf72ac2474014f278dac151047806](/math/files/tex/5d4cf72ac2474014f278dac151047806.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 0bd2e9c07987a33153b1cb87ff672f72](/math/files/tex/0bd2e9c07987a33153b1cb87ff672f72.png)
فمثلاً :
في المثال السابق هل
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 7fbb6a1ad412361142e9e18acbb4b937](/math/files/tex/7fbb6a1ad412361142e9e18acbb4b937.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 5d4cf72ac2474014f278dac151047806](/math/files/tex/5d4cf72ac2474014f278dac151047806.png)
بالتأكيد ما دام
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 2026f4c6f537d5226f22621de6d0d90a](/math/files/tex/2026f4c6f537d5226f22621de6d0d90a.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 0bd2e9c07987a33153b1cb87ff672f72](/math/files/tex/0bd2e9c07987a33153b1cb87ff672f72.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 921e08a8b0ad78ee28c219549706483e](/math/files/tex/921e08a8b0ad78ee28c219549706483e.png)
و لكن
![الفضاء التوبولوجي الجزئي Ba6a2faf6705f35c6ba33a97a4e39268](/math/files/tex/ba6a2faf6705f35c6ba33a97a4e39268.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 5d4cf72ac2474014f278dac151047806](/math/files/tex/5d4cf72ac2474014f278dac151047806.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29](/math/files/tex/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png)
لاحظ إن دراسة الفضاء التوبولوجي الجزئي مهم جداً في تكوين أي توبولوجي نريد من أي مجموعة جزئية في داخل الفضاء الأصلي ، فمثلاً :
ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي المعتاد على
![الفضاء التوبولوجي الجزئي A8d1c5da11e1f0f08159f73a859c4e70](/math/files/tex/a8d1c5da11e1f0f08159f73a859c4e70.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 6fef8abc9a85eafc7a03a5c05546e643](/math/files/tex/6fef8abc9a85eafc7a03a5c05546e643.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29](/math/files/tex/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 2c27081b54060ee2ce42c0e39f31f1c1](/math/files/tex/2c27081b54060ee2ce42c0e39f31f1c1.png)
لاحظ لقد استطعنا معرفة شكل العناصر للمجموعات المفتوحة في
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29](/math/files/tex/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png)
السؤال الذي يطرح الآن :
متى تكون المجموعات المفتوحة (المغلقة) في
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 5d4cf72ac2474014f278dac151047806](/math/files/tex/5d4cf72ac2474014f278dac151047806.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي A6f317b268ae825d94f832f970af607c](/math/files/tex/a6f317b268ae825d94f832f970af607c.png)
إجابة هذا السؤال يكون بالنظرية الآتية :
نظرية (2) :
ليكن لدينا
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 3e63bf1a38d519df6a47a0453c356d48](/math/files/tex/3e63bf1a38d519df6a47a0453c356d48.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 26ce216d8cc9748dff346a22d43978c7](/math/files/tex/26ce216d8cc9748dff346a22d43978c7.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 8e6d62c7055921e164f918aadc3ea6de](/math/files/tex/8e6d62c7055921e164f918aadc3ea6de.png)
1)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 4c614360da93c0a041b22e537de151eb](/math/files/tex/4c614360da93c0a041b22e537de151eb.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي A6f317b268ae825d94f832f970af607c](/math/files/tex/a6f317b268ae825d94f832f970af607c.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29](/math/files/tex/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي A6f317b268ae825d94f832f970af607c](/math/files/tex/a6f317b268ae825d94f832f970af607c.png)
2)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 4c614360da93c0a041b22e537de151eb](/math/files/tex/4c614360da93c0a041b22e537de151eb.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 02129bb861061d1a052c592e2dc6b383](/math/files/tex/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29](/math/files/tex/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 02129bb861061d1a052c592e2dc6b383](/math/files/tex/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png)
الإثبات :
1) حسب نظرية(1) :
![الفضاء التوبولوجي الجزئي F3dd7e425993635e54e254d39bf4a22e](/math/files/tex/f3dd7e425993635e54e254d39bf4a22e.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي F19db6e3b5c32cbb403cb390a9dc3be6](/math/files/tex/f19db6e3b5c32cbb403cb390a9dc3be6.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 638d2c0743155caa6babb0ccc1e748e7](/math/files/tex/638d2c0743155caa6babb0ccc1e748e7.png)
و لكن
![الفضاء التوبولوجي الجزئي A529ad00defc013467c358a924d541ac](/math/files/tex/a529ad00defc013467c358a924d541ac.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي A6f317b268ae825d94f832f970af607c](/math/files/tex/a6f317b268ae825d94f832f970af607c.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي C23e8a4a531b03582cbdf3ee0a4502d6](/math/files/tex/c23e8a4a531b03582cbdf3ee0a4502d6.png)
2) بنفس طريقة إثبات فرع (1) مع تطبيق[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] نتيجة (*).
نلاحظ أنه لو تم أخذ متتمة المجموعات في مثال (*) بالنسبة للمجموعة
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 36b072a3b46bba13cddcf31e25beff26](/math/files/tex/36b072a3b46bba13cddcf31e25beff26.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 07e5a4a56a57f5c874ebf79bb67a0b18](/math/files/tex/07e5a4a56a57f5c874ebf79bb67a0b18.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29](/math/files/tex/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png)
لاحظ ذلك :
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 4dc1ec7aa540ab82c9c9d8a75c71312b](/math/files/tex/4dc1ec7aa540ab82c9c9d8a75c71312b.png)
لاحظ أن جميع المجموعات مغلقة .
تمارين :
السؤال الأول :
في الفضاء التوبولوجي
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 7ed4a7b9d591ac2468c0bcbc330c6596](/math/files/tex/7ed4a7b9d591ac2468c0bcbc330c6596.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي B3b3e9bf49f988994a36866cedd08546](/math/files/tex/b3b3e9bf49f988994a36866cedd08546.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 7294f3b988aca82f7bd8988a8ec78fd4](/math/files/tex/7294f3b988aca82f7bd8988a8ec78fd4.png)
1) أعطي شكلاً بسيطاً للمجموعات المفتوحة في
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 5d4cf72ac2474014f278dac151047806](/math/files/tex/5d4cf72ac2474014f278dac151047806.png)
2) هات فضاء توبولوجي جزئي من
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 34b8ca0a89fb0e428bbaf854bdce0cd7](/math/files/tex/34b8ca0a89fb0e428bbaf854bdce0cd7.png)
3) نفس مطلوب(2) و لكن
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 48f75584b33c13aa9fd503d5f102562c](/math/files/tex/48f75584b33c13aa9fd503d5f102562c.png)
السؤال الثاني :
ليكن لدينا
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 74d642f565946afe9d78e2246adc5f73](/math/files/tex/74d642f565946afe9d78e2246adc5f73.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي 02129bb861061d1a052c592e2dc6b383](/math/files/tex/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي Bea4d0ee024c2375076d07b9f37ca899](/math/files/tex/bea4d0ee024c2375076d07b9f37ca899.png)
و ليكن لدينا
![الفضاء التوبولوجي الجزئي Ed4283bc81951c2b3ee9d28022aed3bc](/math/files/tex/ed4283bc81951c2b3ee9d28022aed3bc.png)
![الفضاء التوبولوجي الجزئي F55803498978ef9509cac8c4f10352a4](/math/files/tex/f55803498978ef9509cac8c4f10352a4.png)
المراجع :
1) General Topology , Paul Long
2)