الفضاء التوبولوجي الجزئي

The Subspace Topology



ليكن لدينا فضاء توبولوجي ، وليكن ، و لنعرف الدالة ( دالة Inclusion ) أي :

التوبولوجي المستحث على بواسطة و الدالة يسمى فضاء توبولوجي جزئي و يرمز للفضاء التوبولوجي المستحث بالرمز .

انظر موضوع فضاء توبولوجي مستحث بواسطة الدوال.

ايمكن صياغة النظرية السابقة بواسطة النظرية الآتية :

نظرية (1) :

ليكن فضاء توبولوجي ، و ليكن فضاء توبولوجي جزئي ، و بالتالي :

الإثبات :

لتكن و بالتالي :

:

يوجد لدينا بحيث .

يوجد لدينا بحيث .

يوجد لدينا بحيث .

يوجد لدينا بحيث .

إذن النظرية السابقة تخبرنا أنه يمكن معرفة عناصر المجموعات المفتوحة للفضاء التوبولوجي الجزئي عن طريق أخذ التقاطعات للمجموعات المفتوحة في الفضاء التوبولوجي الأصلي مع الفضاء الجزئي ، أي بمعنى آخر :

نتيجة (*) :

ليكن فضاء توبولوجي ، و ليكن فضاء توبولوجي جزئي ، و بالتالي :

الإثبات :

طبق النظرية (1) على المجموعة .

مثال (*) :

ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي المعتاد على ، و ليكن لدينا ، جد الشكل العام للمجموعات المفتوحة في .

الحل :

الآن يصعب علينا دراسة جميع تقاطعات المجموعات المفتوحة في ، و بالتالي يمكن فقط أن ندرسها عن طريق أخذ فترة مفتوحة و لنقل أنها ، و دراسة الحالات عليها و سيكون التوبولوجي المكون على هو بأخذ جميع الإتحادات الممكنة و الذي بالأصل تعريف الأساس^[م] .

و بالتالي :

لاحظ أن شكل المجموعات المفتوحة في الحالة الثانية و الثالثة و الآخيرة ، عبارة عن مجموعات مفتوحة في و لكن ليست مفتوحة في .

و بالتالي :

فمثلاً :

في المثال السابق هل مجموعة مفتوحة في ؟

بالتأكيد ما دام مجموعة مفتوحة في بحيث :

و لكن ليست مجموعة مفتوحة في بسبب أنه لا يوجد مجموعة مفتوحة نقاطعها مع بحيث يعطنا الفترة المذكورة .

لاحظ إن دراسة الفضاء التوبولوجي الجزئي مهم جداً في تكوين أي توبولوجي نريد من أي مجموعة جزئية في داخل الفضاء الأصلي ، فمثلاً :

ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي المعتاد على ، فإذا كان لدينا ، فإن الفضاء التوبولوجي الجزئي على هو :

لاحظ لقد استطعنا معرفة شكل العناصر للمجموعات المفتوحة في الذي له مهام كثيرة في تكوني أمثلة مضادة للحقائق المزيفة .

السؤال الذي يطرح الآن :

متى تكون المجموعات المفتوحة (المغلقة) في هي مجموعات مفتوحة (مغلقة) في ؟

إجابة هذا السؤال يكون بالنظرية الآتية :

نظرية (2) :

ليكن لدينا فضاء توبولوجي ، و ليكن لدينا فضاء توبولوجي جزئي ، و ليكن لدينا و بالتالي :

1) مجموعة مفتوحة في إذا و فقط إذا كانت مجموعة مفتوحة في .

2) مجموعة مغلقة في إذا و فقط إذا كانت مجموعة مغلقة في .

الإثبات :

1) حسب نظرية(1) :

إذا و فقط إذا كان يوجد لدينا مجموعة مفتوحة بحيث:

و لكن مجموعة مفتوحة في و بالتالي .

2) بنفس طريقة إثبات فرع (1) مع تطبيق^[م] نتيجة (*).

نلاحظ أنه لو تم أخذ متتمة المجموعات في مثال (*) بالنسبة للمجموعة سنجد جميع المجموعات مغلقة في بسبب أن مجموعة مغلقة .

لاحظ ذلك :

لاحظ أن جميع المجموعات مغلقة .

تمارين :

السؤال الأول :

في الفضاء التوبولوجي و الفضاء التوبولوجي ، و لتكن

1) أعطي شكلاً بسيطاً للمجموعات المفتوحة في .

2) هات فضاء توبولوجي جزئي من بحيث يكون كل مجموعة مفتوحة فيه عبارة عن مجموعة مفتوحة في التوبولوجي للشعاع الأيسر .

3) نفس مطلوب(2) و لكن و بدل المجموعات المفتوحة اجعلها مغلقة .

السؤال الثاني :

ليكن لدينا توبولوجي على بحيث

و ليكن لدينا ، ماذا تستطيع أن تقول عن مقارنة التوبولوجي .

المراجع :

1) General Topology , Paul Long

2) General Topology, 2^nd edition , James Munkers



منقول من موقع الرياضيات رمزاً

تسلم أنت على المرور

السلام عليكم و رحمة الله و بركاته
أشكرك على الموضوع و على المجهود الرائع