The Base of Topological Space
ليكن لدينا
فضاء توبولوجي ، و ليكن لدينا
، نقول عن
عبارة عن أساس[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] للتوبولوجي
إذا و فقط إذا كان لكل مجموعة مفتوحة
يمكن كتابتها على شكل اتحاد من مجموعات في
.
أي بمعنى :![الاساس للفضاء التوبولوجي 4b09aa4fd4f9e5cd8276b9c77d5901c9](/math/files/tex/4b09aa4fd4f9e5cd8276b9c77d5901c9.png)
نسمى المجموعة من عناصر الأساس بمجموعة مفتوحة أساسية أو مجموعة مفتوحة[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] من الأساس (basic open set)،أو نسمها عناصر الأساس ( basis elements )، و نشير أن هذا الأتحاد ليس وحيد ، وبالتالي يختلف عن مفهوم الأساس الذي يكون في الجبر الخطي.
نلاحظ ما يلي :
1) عناصر الأساس هي بالأصل عناصر في التوبولوجي ، أي أنها عبارة ن مجموعات مفتوحة .
2) الأساس يهتم بالمجموعات التي تكفي لتوليد بقية المجموعات المفتوحة الغير فارغة .
3) تكمن أهميته في التعامل مع الأسئلة بعناصر الأساس بدل من أن نتعامل مع عناصرالتوبولوجي بشكل مباشر .
4) يعطي صورة جميلة عن عناصر التوبولوجي بشكل عام .
إذن لنوضح مفهومالأساس ببعض الأمثلة :
1) لتكن لدينا
، و ليكن لدينا
.
و بالتالي لو فرضنا :![الاساس للفضاء التوبولوجي 7ff584b8522377ae015d47e743c8634e](/math/files/tex/7ff584b8522377ae015d47e743c8634e.png)
فسيكون عبارة عن أساس للتوبولوجي السابق لأنه محقق شرط التعريف .
و أيضاً لو فرضنا :![الاساس للفضاء التوبولوجي 17d6289f9b81b5a6cf07bc6631d8daaf](/math/files/tex/17d6289f9b81b5a6cf07bc6631d8daaf.png)
عبارة أيضاً عن أساس للتوبولوجي السابق ، لا تنسى أن الأساس يعطي المجموعات الغير فارغة في أصل التعريف إلا إن كان في أحد عناصر المجموعةا الكلوبن
مثلما كان الأمر في
.
2) في الفضاء التوبولوجي
و لنفرض أن :
![الاساس للفضاء التوبولوجي 08d58f707784c046557f09c0c683cefb](/math/files/tex/08d58f707784c046557f09c0c683cefb.png)
عبارة عن أساس للتوبولوجي المعتاد على
، و هذا يفسر سبب تعاملنا فقط بالفترة المفتوحة في الأسئلة و النظريات .
3) في الفضاء التوبولوجي
لنفرض أن :![الاساس للفضاء التوبولوجي 87e2251b1a3560b6cd094e4dd34dcbc6](/math/files/tex/87e2251b1a3560b6cd094e4dd34dcbc6.png)
عبارة عن أساس للتوبولوجي المتقطع .
4) في الفضاء التوبولوجي
فإن أساسه كل التوبولوجي أي :![الاساس للفضاء التوبولوجي Fce0fe3b250bc9268017c24db3097c54](/math/files/tex/fce0fe3b250bc9268017c24db3097c54.png)
و كذلك الأمر بالنسبة للتوبولوجي
، و نشير أنه لا يوجد أساس جزئي من التوبولوجيين السابقيين غير هذا الأساس ، أي الأساس الذي يساوي التوبولوجي كاملاً.
لو كان لدينا أساس لفضاء معين[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] ، كيف يمكن الحصول على التوبولوجي له ؟
الجواب :
يمكن أن نحصل على التوبولوجي للفضاء عن طريق أخذ جميع الإتحادات الممكنة للمجموعات المفتوحة الأساسية في الأساس ، و إضافة المجموعة
، الأمر يكون سهل في الفضاءات المحدودة ، و المشكلة تكمن في الفضاءات اللامنتهية قد لا نحتاج لكتابة التوبولوجي له ، و لكن يجب أن تكون قادراً على تميز لأي مجموعة معطاة هل هي عبارة عن اتحاد من المجموعات الأساسية أو لا
الآن لو افترضنا أنه لدينا الأساس
للتوبولوجي، فإننا نرمز للتوبولوجي المولد من
بالرمز
.
لنوضح المفهوم بمثال بسيط :
لتكن لدينا
، و ليكن و لدينا
عبارة عن أساس للتوبولوجي فإن :![الاساس للفضاء التوبولوجي Eb2abad27e049b145ac152b2d9c7f4cf](/math/files/tex/eb2abad27e049b145ac152b2d9c7f4cf.png)
و هذا هو جميع الإتحادات الممكنة له .
الأساس في صياغته يساعد على معرفة إن كانت المجموعة مفتوحة عن طريق عناصره و التي تتلخص ف يالنظرية[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] البسيطة الأتية :
نظرية (1) :
ليكن لدينا
فضاء توبولوجي ، و ليكن لدينا
أساس للتوبولوجي ، و بالتالي :
مجموعة مفتوحة في
إذا و فقط إذا لكل عنصر
، يوجد لدينا مجموعة
بحيث
.
الإثبات :
الآن
مجموعة مفتوحة إذا و فقط إذا كان يوجد لدينا مجموعة مفتوحة
بحيث :![الاساس للفضاء التوبولوجي 69d24730b24b697ff7608f651b58460c](/math/files/tex/69d24730b24b697ff7608f651b58460c.png)
يوجد لدينا
بحيث :![الاساس للفضاء التوبولوجي 16ad894f20b9b0c8559931a746e659ce](/math/files/tex/16ad894f20b9b0c8559931a746e659ce.png)
أي أنها اتحاد عدد من عناصر الأساس و هو
و ربما يكون كل الأساس .
و بالتالي
حيث
، و منها نصل إلى :![الاساس للفضاء التوبولوجي 6a8668687dbe4e2014a58e3a3413170d](/math/files/tex/6a8668687dbe4e2014a58e3a3413170d.png)
و هو المطلوب .
من أحد التعاريف المكافئة لتعريف الأساس النظرية الآتية :
نظرية (2) :
ليكن لدينا
فضاء توبولوجي ، و ليكن لدينا
عائلة من المجموعات الجزئية من
، فإننا نعتبر
عبارة عن أساس إذا و فقط إذا كانت محققة :
1) لكل نقطة
يوجد لدينا
بحيث
.
2) و لكل مجموعتين
و لكل نقطة
، فإنه يوجد لدينا مجموعة
بحيث
.
الإثبات :
واضح لدينا أنه لو كانت
عبارة عن أساس ، فإن الشرط الأول و الثاني متحققة مباشرة بسبب أن عناصر الأساس بالأصل في
و لدينا ايضاً
في
، فيمكن كتابتها بشكل اتحاد مجموعات من
.
لكي نثبت أنه أساس ، فعلينا أن نثبت أن
عبارة عن توبولوجي على
و لد بواسطة
.
نذكر أن
هي عبارة عن جميع الاتحادات الممكنة لعناصر
مع إضافة
إن لم تكن موجودة .
لنتحقق من شروط التوبولوجي :
1) المجموعة
موجودة ، لنثبت ان
أيضاً موجودة .
من شرط (1) لكل
يوجد لدينا
بحيث
.
و بالتالي :![الاساس للفضاء التوبولوجي 44efea75d500a2f5775151ff0697ef79](/math/files/tex/44efea75d500a2f5775151ff0697ef79.png)
2) بما أن
هي عبارة عن جميع الإتحادات الممكنة من
، فإن اتحاد أي عائلة من مجموعاته ستكون بالتأكيد في داخله بسبب أنها عبارة عن اتحاد مع عناصر
.
3) الآن لو كان لدينا
.
الآن إن كان
فتقطاعهم عنصر في
.
لنفرض أن تقاطعهم غير فارغ ، و بما أن :
و
الآن :![الاساس للفضاء التوبولوجي B37682b38bfe3b40bba86cb967a14d35](/math/files/tex/b37682b38bfe3b40bba86cb967a14d35.png)
يكفي إثبات ان
.
الآن من شرط (2) ، لكل عنصر
في داخلهما يوجد مجموعة
بحيث :![الاساس للفضاء التوبولوجي 617f2cd79a216062a64cf571cf0e7d07](/math/files/tex/617f2cd79a216062a64cf571cf0e7d07.png)
و بالتالي يمكن كتابة :![الاساس للفضاء التوبولوجي 7987589f3107d7919418f08d5041dcf3](/math/files/tex/7987589f3107d7919418f08d5041dcf3.png)
و بالتالي أصبح لدينا :
عبارة عن اتحاد من مجموعات من
.
و بإستخدام الإستقراء الرياضي[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] يمكن تعميم إلى أي
.
لدينا
عبارة عن توبولوجي على
، و بالتالي
عبارة عن أساس .
الآن هذه النظرية مهمة في تحديد أي عائلة من المجموعات كانت تشكل أساس أو لا بدل من أخذ جميع الإتحادات الممكنة.
لنبين مفهوم النظرية بمثال بسيط :
في الفضاء الإقليدي التربيعي
، جميع داخلية الدوائر[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] Interior of circles تعتبر أساس للتوبولوجي على
بسبب أن داخلية الدوائر تحقق الشرطين السابقين في نظرية (2) .
أي أن شكل عناصر الأساس في الفضاء الإقليدي التربيعي هي داخلية الدوائر .
انظر الشكل لترى تحقق الشروط :
![الاساس للفضاء التوبولوجي Bas](/math/files/images/bas.PNG)
و كذلك الأمر بالنسبة لو تم أخذ داخلية المستطيلات أيضاً ، انظر الشكل .
![الاساس للفضاء التوبولوجي Bas1](/math/files/images/bas1.PNG)
نتيجة (1) :
ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي
، و ليكن لدينا
عبارة عن أي عائلة من المجموعات المفتوحة في
بحيث لكل مجموعة مفتوحة
مجموعة مفتوحة في
، و لكل
يوجد لدينا مجموعة مفتوحة
بحيث :![الاساس للفضاء التوبولوجي 1ced24edb6b0006c093e813a21b5db46](/math/files/tex/1ced24edb6b0006c093e813a21b5db46.png)
وبالتالي :
عبارة عن أساس للتوبولوجي .
الإثبات :
لكي نثبت اأنه أساس للتوبولوجي يحب أن نثبت :
أ) أنه أساس و هي واضحة من شروط النظرية(2) متروك للقارىء .
ب)
:
لإثبات (ب) :
عناصر
هي في
، و بما أن
مغلقة تحت أي اتحاد من المجموعات المفتوحة و بالتالي أي عنصر في
هو عبارة عن عنصر في
و بالتالي :![الاساس للفضاء التوبولوجي 954a3ac7bc07c823d35d794b18779452](/math/files/tex/954a3ac7bc07c823d35d794b18779452.png)
الآن إن كانت
و كانت
فإنه حسب الفرض
بحيث
و بالتالي :![الاساس للفضاء التوبولوجي 142cfcaad4fb8ec2b5f43baa490b49d6](/math/files/tex/142cfcaad4fb8ec2b5f43baa490b49d6.png)
أي أن
، و بالتالي :![الاساس للفضاء التوبولوجي F73c667b5446dd2d92ac28aada38134e](/math/files/tex/f73c667b5446dd2d92ac28aada38134e.png)
واضح من خلال هذه النتيجة أن يمكطن البحث فقط عن مجموعات بفتوحة بحيث تحقق الشروط المذكورة يكون أقل سهولة لإيجاد الأساس للتوبولوجي .
فمثلاً في الفضاء التوبولوجي المعتاد على
يمكن إيجاد مجموعات مفتوحة بحيث تحقق الشروط و هي :![الاساس للفضاء التوبولوجي Bb450cca83216c6501f43da36200d545](/math/files/tex/bb450cca83216c6501f43da36200d545.png)
الآن للأساس دور هام في مقارنة التوبولوجي على مجموعة
و الذي سنين دوره في النظرية الآتية :
نظرية (3) :
لتكن
، و ليكن لدينا
أساس مولداً التوبولوجي
، و ليكن لدينا
أساس مولداً التوبولوجي
، و كلاهما على
، و بالتالي الآتي متكافىء :
1)
.
2) إذا كانت
و كانت
بحيث
فإنه يوجد
بحيث :![الاساس للفضاء التوبولوجي 1e4c97ba737e17ddc6ce494d94513e67](/math/files/tex/1e4c97ba737e17ddc6ce494d94513e67.png)
الإثبات :
(1)
(2) :
لتكن حسب الشرط الثاني
بحيث
، و بما أن
و
و بالتالي
، و بما أن
مولد بواسطة
و بالتالي يوجد لدينا
بحيث :![الاساس للفضاء التوبولوجي 0e6e0a4944069164a32f037cd9eba0c3](/math/files/tex/0e6e0a4944069164a32f037cd9eba0c3.png)
(2)
(1) :
لتكن
و لتكن
و بما أن
مولد بواسطة الأساس
و بالتالي يوجد لدينا
بحيث
و لكن حسب شرط (2) ، يوجد لدينا
بحيث :![الاساس للفضاء التوبولوجي A5d6d84872768e9fd1883890d5311911](/math/files/tex/a5d6d84872768e9fd1883890d5311911.png)
و بالتالي يمكن كتابة
على شكل اتحاد من عناصر الأساس
أي أن
.
وهو المطلوب .
لاحظ أن أهمية هذه النظرية تكمن في مقارنة التوبولوجي بواسطة عناصر الأساس ، و لكن كيف نستطيع أن نتذكر دائماً أن عناصر التوبولوجي الأقوى دائماً داخل عناصر التوبولوجي الأضعف .
تخيل أن عناصر الأساس للتوبولوجي الأضعف هي حصى (حجارة صغيرة ) ، و تخيل أن هذه الحصى تم سحقها في آلة سحق معينة ليصبح لدينا تراب ناعم .
و بالتالي ذرات التراب هي عناصر الأساس للتوبولوجي الأقوى ، أي أن ذرات التراب تنتمي لحصى من التوبولوجي الأضعف .
نلاحظ من النظرية السابقة نتيجة هامة لمعرفة إن كان التوبولوجيين متساويين عن طريق عناصر الأساس و هي :
نتيجة (2) :
لتكن
، و ليكن لدينا
أساس مولداً التوبولوجي
، و ليكن لدينا
أساس مولداً التوبولوجي
، و كلاهما على
، و بالتالي يكون لدينا
إذا وفقط إذا كان لدينا :
1) إذا كانت
و كانت
بحيث
فإنه يوجد
بحيث :![الاساس للفضاء التوبولوجي 1e4c97ba737e17ddc6ce494d94513e67](/math/files/tex/1e4c97ba737e17ddc6ce494d94513e67.png)
2) إذا كانت
و كانت
بحيث
فإنه يوجد
بحيث :![الاساس للفضاء التوبولوجي Ed5a43bdf97b43aa50eafff2699bc477](/math/files/tex/ed5a43bdf97b43aa50eafff2699bc477.png)
الإثبات : اتبع نفس التكنبك الذي اتبع في إثبات النظرية (3) .
أي أنه يمكن أن يتواجد أكثر من أساس للفضاء بحيث كلها تؤدي إلى توليد نفس التوبولوجي .
فمثلاً :
في الفضاء التوبولوجي
نلاحظ أن :![الاساس للفضاء التوبولوجي 9cc1aa06a684d10a5434c7b88f4581a0](/math/files/tex/9cc1aa06a684d10a5434c7b88f4581a0.png)
و أيضاً الأساس :![الاساس للفضاء التوبولوجي 4aa63a8051b671da7b90469e46df1145](/math/files/tex/4aa63a8051b671da7b90469e46df1145.png)
و أيضاً الأساس :![الاساس للفضاء التوبولوجي D7900a091fb392c76a92fae01dd7c5d4](/math/files/tex/d7900a091fb392c76a92fae01dd7c5d4.png)
تولد جميعها نفس التوبولوجي .
فكر : هل يوجد غير للتوبولوجي المعتاد ؟؟؟
و نلاحظ أيضاً في المثال السابق :
في الفضاء الإقليدي التربيعي
،الأساس المكون من جميع داخلية الدوائر و الأساس المكون من داخلية المسطتيلات كلاهما متكافئين .
و السبب انظر الشكل :
![الاساس للفضاء التوبولوجي Equ](/math/files/images/equ.PNG)
نظرية (4) :
ليكن لدينا
فضاء توبولوجي و ليكن
أساس للتوبولوجي
و لتكن
و بالتالي :![الاساس للفضاء التوبولوجي 52a1d4bb11e72e0b09cf62eb318d2959](/math/files/tex/52a1d4bb11e72e0b09cf62eb318d2959.png)
عبارة عن أساس للفضاء للتوبولوجي
.
الإثبات :
1) بما أن
و بالتالي
لجميع المجموعات
.
2) لتكن
و بالتالي يوجد لدينا مجموعة مفتوحة
بحيث :![الاساس للفضاء التوبولوجي 638d2c0743155caa6babb0ccc1e748e7](/math/files/tex/638d2c0743155caa6babb0ccc1e748e7.png)
و لكن![الاساس للفضاء التوبولوجي C176640e77a0041eaa333c86f24dd9af](/math/files/tex/c176640e77a0041eaa333c86f24dd9af.png)
و بالتالي :![الاساس للفضاء التوبولوجي Bf2db85adef36ca5a8f4c005962dbc30](/math/files/tex/bf2db85adef36ca5a8f4c005962dbc30.png)
أي أن
أساس للتوبولوجي
.
قد أوضحنا سابقاً مثال يبن كيفية بناء الأساس للتوبولوجي الجزئي و هو :
مثال (*) :
ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي المعتاد على
، و ليكن لدينا
، جد الشكل العام للمجموعات المفتوحة في
.
الحل :
الآن بما أنه
عبارة عن أساس للتوبولوجي المعتاد فإن شكل عناصر الأساس للتوبولوجي هي :![الاساس للفضاء التوبولوجي 0a0258a9fcc1a8501a349804e03f2a7b](/math/files/tex/0a0258a9fcc1a8501a349804e03f2a7b.png)
و هذه هي عناصر الأساس للتوبولوجي
.
المراجع :
1) General Topology , Paul Long
2)
تعريف :
ليكن لدينا
![الاساس للفضاء التوبولوجي 3e63bf1a38d519df6a47a0453c356d48](/math/files/tex/3e63bf1a38d519df6a47a0453c356d48.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي Dade773121c15ca1d3332eab0477672f](/math/files/tex/dade773121c15ca1d3332eab0477672f.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 7489e59d42c3d99fc154e17283675b81](/math/files/tex/7489e59d42c3d99fc154e17283675b81.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي A6f317b268ae825d94f832f970af607c](/math/files/tex/a6f317b268ae825d94f832f970af607c.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي Adb680cf5f4538a28f413ae3d4d57d6f](/math/files/tex/adb680cf5f4538a28f413ae3d4d57d6f.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 5ed0e30e27aede3e16322b0b7defbc82](/math/files/tex/5ed0e30e27aede3e16322b0b7defbc82.png)
أي بمعنى :
![الاساس للفضاء التوبولوجي 4b09aa4fd4f9e5cd8276b9c77d5901c9](/math/files/tex/4b09aa4fd4f9e5cd8276b9c77d5901c9.png)
نسمى المجموعة من عناصر الأساس بمجموعة مفتوحة أساسية أو مجموعة مفتوحة[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] من الأساس (basic open set)،أو نسمها عناصر الأساس ( basis elements )، و نشير أن هذا الأتحاد ليس وحيد ، وبالتالي يختلف عن مفهوم الأساس الذي يكون في الجبر الخطي.
نلاحظ ما يلي :
1) عناصر الأساس هي بالأصل عناصر في التوبولوجي ، أي أنها عبارة ن مجموعات مفتوحة .
2) الأساس يهتم بالمجموعات التي تكفي لتوليد بقية المجموعات المفتوحة الغير فارغة .
3) تكمن أهميته في التعامل مع الأسئلة بعناصر الأساس بدل من أن نتعامل مع عناصرالتوبولوجي بشكل مباشر .
4) يعطي صورة جميلة عن عناصر التوبولوجي بشكل عام .
إذن لنوضح مفهومالأساس ببعض الأمثلة :
1) لتكن لدينا
![الاساس للفضاء التوبولوجي 50b11a233e0f7ad238ea7a9740411bfe](/math/files/tex/50b11a233e0f7ad238ea7a9740411bfe.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي E77d10ab6f449b43e759b94c78a6ebad](/math/files/tex/e77d10ab6f449b43e759b94c78a6ebad.png)
و بالتالي لو فرضنا :
![الاساس للفضاء التوبولوجي 7ff584b8522377ae015d47e743c8634e](/math/files/tex/7ff584b8522377ae015d47e743c8634e.png)
فسيكون عبارة عن أساس للتوبولوجي السابق لأنه محقق شرط التعريف .
و أيضاً لو فرضنا :
![الاساس للفضاء التوبولوجي 17d6289f9b81b5a6cf07bc6631d8daaf](/math/files/tex/17d6289f9b81b5a6cf07bc6631d8daaf.png)
عبارة أيضاً عن أساس للتوبولوجي السابق ، لا تنسى أن الأساس يعطي المجموعات الغير فارغة في أصل التعريف إلا إن كان في أحد عناصر المجموعةا الكلوبن
![الاساس للفضاء التوبولوجي 1ed346930917426bc46d41e22cc525ec](/math/files/tex/1ed346930917426bc46d41e22cc525ec.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 624324598a2cf4174902b860198b86c8](/math/files/tex/624324598a2cf4174902b860198b86c8.png)
2) في الفضاء التوبولوجي
![الاساس للفضاء التوبولوجي 5e5668539baddeaab29852b257aeb398](/math/files/tex/5e5668539baddeaab29852b257aeb398.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 08d58f707784c046557f09c0c683cefb](/math/files/tex/08d58f707784c046557f09c0c683cefb.png)
عبارة عن أساس للتوبولوجي المعتاد على
![الاساس للفضاء التوبولوجي A8d1c5da11e1f0f08159f73a859c4e70](/math/files/tex/a8d1c5da11e1f0f08159f73a859c4e70.png)
3) في الفضاء التوبولوجي
![الاساس للفضاء التوبولوجي F4cf2f1d366ef6c5cfb9f78a8444475e](/math/files/tex/f4cf2f1d366ef6c5cfb9f78a8444475e.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 87e2251b1a3560b6cd094e4dd34dcbc6](/math/files/tex/87e2251b1a3560b6cd094e4dd34dcbc6.png)
عبارة عن أساس للتوبولوجي المتقطع .
4) في الفضاء التوبولوجي
![الاساس للفضاء التوبولوجي 105ef1e3e4b1953ff1b06a9612c73e36](/math/files/tex/105ef1e3e4b1953ff1b06a9612c73e36.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي Fce0fe3b250bc9268017c24db3097c54](/math/files/tex/fce0fe3b250bc9268017c24db3097c54.png)
و كذلك الأمر بالنسبة للتوبولوجي
![الاساس للفضاء التوبولوجي 35689a36764b8eceef05bd1341e6e671](/math/files/tex/35689a36764b8eceef05bd1341e6e671.png)
- الآن يأتي السؤال الآتي :
لو كان لدينا أساس لفضاء معين[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] ، كيف يمكن الحصول على التوبولوجي له ؟
الجواب :
يمكن أن نحصل على التوبولوجي للفضاء عن طريق أخذ جميع الإتحادات الممكنة للمجموعات المفتوحة الأساسية في الأساس ، و إضافة المجموعة
![الاساس للفضاء التوبولوجي 1ed346930917426bc46d41e22cc525ec](/math/files/tex/1ed346930917426bc46d41e22cc525ec.png)
الآن لو افترضنا أنه لدينا الأساس
![الاساس للفضاء التوبولوجي 7489e59d42c3d99fc154e17283675b81](/math/files/tex/7489e59d42c3d99fc154e17283675b81.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 5ed0e30e27aede3e16322b0b7defbc82](/math/files/tex/5ed0e30e27aede3e16322b0b7defbc82.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي Bdbb4baed6944d3ebdfc8441970f8122](/math/files/tex/bdbb4baed6944d3ebdfc8441970f8122.png)
لنوضح المفهوم بمثال بسيط :
لتكن لدينا
![الاساس للفضاء التوبولوجي 50b11a233e0f7ad238ea7a9740411bfe](/math/files/tex/50b11a233e0f7ad238ea7a9740411bfe.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 328fd96d363d5d8133a8b86344e8bb52](/math/files/tex/328fd96d363d5d8133a8b86344e8bb52.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي Eb2abad27e049b145ac152b2d9c7f4cf](/math/files/tex/eb2abad27e049b145ac152b2d9c7f4cf.png)
و هذا هو جميع الإتحادات الممكنة له .
الأساس في صياغته يساعد على معرفة إن كانت المجموعة مفتوحة عن طريق عناصره و التي تتلخص ف يالنظرية[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] البسيطة الأتية :
نظرية (1) :
ليكن لدينا
![الاساس للفضاء التوبولوجي 3e63bf1a38d519df6a47a0453c356d48](/math/files/tex/3e63bf1a38d519df6a47a0453c356d48.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 5ed0e30e27aede3e16322b0b7defbc82](/math/files/tex/5ed0e30e27aede3e16322b0b7defbc82.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 4c614360da93c0a041b22e537de151eb](/math/files/tex/4c614360da93c0a041b22e537de151eb.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي A6f317b268ae825d94f832f970af607c](/math/files/tex/a6f317b268ae825d94f832f970af607c.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي E127194a104c7d88221cef819a274646](/math/files/tex/e127194a104c7d88221cef819a274646.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 93b80d9f6a17ac3f52f4ed102106ac29](/math/files/tex/93b80d9f6a17ac3f52f4ed102106ac29.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 453e521a9080e7cfe16404d390fb33d9](/math/files/tex/453e521a9080e7cfe16404d390fb33d9.png)
الإثبات :
الآن
![الاساس للفضاء التوبولوجي 4c614360da93c0a041b22e537de151eb](/math/files/tex/4c614360da93c0a041b22e537de151eb.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي D8d814357635c6766e65606d65f216f9](/math/files/tex/d8d814357635c6766e65606d65f216f9.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 69d24730b24b697ff7608f651b58460c](/math/files/tex/69d24730b24b697ff7608f651b58460c.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي D1b2196508f5da0f6602bc74b9b263f9](/math/files/tex/d1b2196508f5da0f6602bc74b9b263f9.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي D8d814357635c6766e65606d65f216f9](/math/files/tex/d8d814357635c6766e65606d65f216f9.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 16ad894f20b9b0c8559931a746e659ce](/math/files/tex/16ad894f20b9b0c8559931a746e659ce.png)
أي أنها اتحاد عدد من عناصر الأساس و هو
![الاساس للفضاء التوبولوجي 262e0afc75c8a9fc536a7dce57e6ebe1](/math/files/tex/262e0afc75c8a9fc536a7dce57e6ebe1.png)
و بالتالي
![الاساس للفضاء التوبولوجي D821010d9b5b0c8b2f5a10099c5dea7c](/math/files/tex/d821010d9b5b0c8b2f5a10099c5dea7c.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 1d68b523d3acb5fd157db634b0747286](/math/files/tex/1d68b523d3acb5fd157db634b0747286.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 6a8668687dbe4e2014a58e3a3413170d](/math/files/tex/6a8668687dbe4e2014a58e3a3413170d.png)
و هو المطلوب .
من أحد التعاريف المكافئة لتعريف الأساس النظرية الآتية :
نظرية (2) :
ليكن لدينا
![الاساس للفضاء التوبولوجي A0b76c8fbb3ae96aa6e3e52a4a070f05](/math/files/tex/a0b76c8fbb3ae96aa6e3e52a4a070f05.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 5ed0e30e27aede3e16322b0b7defbc82](/math/files/tex/5ed0e30e27aede3e16322b0b7defbc82.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 02129bb861061d1a052c592e2dc6b383](/math/files/tex/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 7489e59d42c3d99fc154e17283675b81](/math/files/tex/7489e59d42c3d99fc154e17283675b81.png)
1) لكل نقطة
![الاساس للفضاء التوبولوجي 735b05e6097f98da56f2ca14b8005d36](/math/files/tex/735b05e6097f98da56f2ca14b8005d36.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 4f61b75563432aab733aa1131d20c5cf](/math/files/tex/4f61b75563432aab733aa1131d20c5cf.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 3992cb91cf48176fa7ccc8548862b3ae](/math/files/tex/3992cb91cf48176fa7ccc8548862b3ae.png)
2) و لكل مجموعتين
![الاساس للفضاء التوبولوجي B017733e5b8deb56c87c5242223783a2](/math/files/tex/b017733e5b8deb56c87c5242223783a2.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 57e130738fa314d1a3af434766a5c6e8](/math/files/tex/57e130738fa314d1a3af434766a5c6e8.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 6e1d2e467d84c09edfe447d4ee3be7ec](/math/files/tex/6e1d2e467d84c09edfe447d4ee3be7ec.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 57eeeb7a2ee130d897cd7be8de2debcb](/math/files/tex/57eeeb7a2ee130d897cd7be8de2debcb.png)
الإثبات :
واضح لدينا أنه لو كانت
![الاساس للفضاء التوبولوجي 22e6468af608616368381aa21a51ca77](/math/files/tex/22e6468af608616368381aa21a51ca77.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي A6f317b268ae825d94f832f970af607c](/math/files/tex/a6f317b268ae825d94f832f970af607c.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 02129bb861061d1a052c592e2dc6b383](/math/files/tex/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي A6f317b268ae825d94f832f970af607c](/math/files/tex/a6f317b268ae825d94f832f970af607c.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 5ed0e30e27aede3e16322b0b7defbc82](/math/files/tex/5ed0e30e27aede3e16322b0b7defbc82.png)
لكي نثبت أنه أساس ، فعلينا أن نثبت أن
![الاساس للفضاء التوبولوجي Bdbb4baed6944d3ebdfc8441970f8122](/math/files/tex/bdbb4baed6944d3ebdfc8441970f8122.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 02129bb861061d1a052c592e2dc6b383](/math/files/tex/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 7489e59d42c3d99fc154e17283675b81](/math/files/tex/7489e59d42c3d99fc154e17283675b81.png)
نذكر أن
![الاساس للفضاء التوبولوجي Bdbb4baed6944d3ebdfc8441970f8122](/math/files/tex/bdbb4baed6944d3ebdfc8441970f8122.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 5ed0e30e27aede3e16322b0b7defbc82](/math/files/tex/5ed0e30e27aede3e16322b0b7defbc82.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 1ed346930917426bc46d41e22cc525ec](/math/files/tex/1ed346930917426bc46d41e22cc525ec.png)
لنتحقق من شروط التوبولوجي :
1) المجموعة
![الاساس للفضاء التوبولوجي 1ed346930917426bc46d41e22cc525ec](/math/files/tex/1ed346930917426bc46d41e22cc525ec.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 02129bb861061d1a052c592e2dc6b383](/math/files/tex/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png)
من شرط (1) لكل
![الاساس للفضاء التوبولوجي 735b05e6097f98da56f2ca14b8005d36](/math/files/tex/735b05e6097f98da56f2ca14b8005d36.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 4f61b75563432aab733aa1131d20c5cf](/math/files/tex/4f61b75563432aab733aa1131d20c5cf.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي Aa7219867edc9c4cf01eb5ca4d24949f](/math/files/tex/aa7219867edc9c4cf01eb5ca4d24949f.png)
و بالتالي :
![الاساس للفضاء التوبولوجي 44efea75d500a2f5775151ff0697ef79](/math/files/tex/44efea75d500a2f5775151ff0697ef79.png)
2) بما أن
![الاساس للفضاء التوبولوجي Bdbb4baed6944d3ebdfc8441970f8122](/math/files/tex/bdbb4baed6944d3ebdfc8441970f8122.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 5ed0e30e27aede3e16322b0b7defbc82](/math/files/tex/5ed0e30e27aede3e16322b0b7defbc82.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 7489e59d42c3d99fc154e17283675b81](/math/files/tex/7489e59d42c3d99fc154e17283675b81.png)
3) الآن لو كان لدينا
![الاساس للفضاء التوبولوجي Ebb828fb79b9af8d5534e5d4eb6f396c](/math/files/tex/ebb828fb79b9af8d5534e5d4eb6f396c.png)
الآن إن كان
![الاساس للفضاء التوبولوجي 60f82e8a751343b5f60c6f47f01c9044](/math/files/tex/60f82e8a751343b5f60c6f47f01c9044.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 3d8488e8992d1f53ed8e83347af48c57](/math/files/tex/3d8488e8992d1f53ed8e83347af48c57.png)
لنفرض أن تقاطعهم غير فارغ ، و بما أن :
![الاساس للفضاء التوبولوجي 441926acb2f9d29c4fc003fb9f2b384b](/math/files/tex/441926acb2f9d29c4fc003fb9f2b384b.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي A81c0276f23d74ac2ae2581989511652](/math/files/tex/a81c0276f23d74ac2ae2581989511652.png)
الآن :
![الاساس للفضاء التوبولوجي B37682b38bfe3b40bba86cb967a14d35](/math/files/tex/b37682b38bfe3b40bba86cb967a14d35.png)
يكفي إثبات ان
![الاساس للفضاء التوبولوجي E271201975352957e41248da9076175c](/math/files/tex/e271201975352957e41248da9076175c.png)
الآن من شرط (2) ، لكل عنصر
![الاساس للفضاء التوبولوجي 9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6](/math/files/tex/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 9f87b66600434de65fbadfe6cc99bf90](/math/files/tex/9f87b66600434de65fbadfe6cc99bf90.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 617f2cd79a216062a64cf571cf0e7d07](/math/files/tex/617f2cd79a216062a64cf571cf0e7d07.png)
و بالتالي يمكن كتابة :
![الاساس للفضاء التوبولوجي 7987589f3107d7919418f08d5041dcf3](/math/files/tex/7987589f3107d7919418f08d5041dcf3.png)
و بالتالي أصبح لدينا :
![الاساس للفضاء التوبولوجي 2daa9e47bcc9ba0c226d674db84e4288](/math/files/tex/2daa9e47bcc9ba0c226d674db84e4288.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 5ed0e30e27aede3e16322b0b7defbc82](/math/files/tex/5ed0e30e27aede3e16322b0b7defbc82.png)
و بإستخدام الإستقراء الرياضي[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] يمكن تعميم إلى أي
![الاساس للفضاء التوبولوجي 84dd9ae72067819841f2bff66ecfb647](/math/files/tex/84dd9ae72067819841f2bff66ecfb647.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 132a246a32b3636371660621e977e4ec](/math/files/tex/132a246a32b3636371660621e977e4ec.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي Bdbb4baed6944d3ebdfc8441970f8122](/math/files/tex/bdbb4baed6944d3ebdfc8441970f8122.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 02129bb861061d1a052c592e2dc6b383](/math/files/tex/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 7489e59d42c3d99fc154e17283675b81](/math/files/tex/7489e59d42c3d99fc154e17283675b81.png)
الآن هذه النظرية مهمة في تحديد أي عائلة من المجموعات كانت تشكل أساس أو لا بدل من أخذ جميع الإتحادات الممكنة.
لنبين مفهوم النظرية بمثال بسيط :
في الفضاء الإقليدي التربيعي
![الاساس للفضاء التوبولوجي Ea4fbd9d8097645e3db5ebe4d307774b](/math/files/tex/ea4fbd9d8097645e3db5ebe4d307774b.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي Ea4fbd9d8097645e3db5ebe4d307774b](/math/files/tex/ea4fbd9d8097645e3db5ebe4d307774b.png)
أي أن شكل عناصر الأساس في الفضاء الإقليدي التربيعي هي داخلية الدوائر .
انظر الشكل لترى تحقق الشروط :
و كذلك الأمر بالنسبة لو تم أخذ داخلية المستطيلات أيضاً ، انظر الشكل .
نتيجة (1) :
ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي
![الاساس للفضاء التوبولوجي 3e63bf1a38d519df6a47a0453c356d48](/math/files/tex/3e63bf1a38d519df6a47a0453c356d48.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي F4d2e769da74d34b84387cef77863522](/math/files/tex/f4d2e769da74d34b84387cef77863522.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 02129bb861061d1a052c592e2dc6b383](/math/files/tex/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 4c614360da93c0a041b22e537de151eb](/math/files/tex/4c614360da93c0a041b22e537de151eb.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 02129bb861061d1a052c592e2dc6b383](/math/files/tex/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 1339334d785688e5972b38bfc1ed4987](/math/files/tex/1339334d785688e5972b38bfc1ed4987.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 5414e4a905b092811ff35ba59d41d19d](/math/files/tex/5414e4a905b092811ff35ba59d41d19d.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 1ced24edb6b0006c093e813a21b5db46](/math/files/tex/1ced24edb6b0006c093e813a21b5db46.png)
وبالتالي :
![الاساس للفضاء التوبولوجي 2b12dc997300ecbf4be5dc306cd72ed9](/math/files/tex/2b12dc997300ecbf4be5dc306cd72ed9.png)
الإثبات :
لكي نثبت اأنه أساس للتوبولوجي يحب أن نثبت :
أ) أنه أساس و هي واضحة من شروط النظرية(2) متروك للقارىء .
ب)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 5ded063a32f11ef68e3b5f3a19a549c9](/math/files/tex/5ded063a32f11ef68e3b5f3a19a549c9.png)
لإثبات (ب) :
عناصر
![الاساس للفضاء التوبولوجي F4d2e769da74d34b84387cef77863522](/math/files/tex/f4d2e769da74d34b84387cef77863522.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي A6f317b268ae825d94f832f970af607c](/math/files/tex/a6f317b268ae825d94f832f970af607c.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي A6f317b268ae825d94f832f970af607c](/math/files/tex/a6f317b268ae825d94f832f970af607c.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 4e13b48f912ae7f61fda6499c60fd7dc](/math/files/tex/4e13b48f912ae7f61fda6499c60fd7dc.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي A6f317b268ae825d94f832f970af607c](/math/files/tex/a6f317b268ae825d94f832f970af607c.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 954a3ac7bc07c823d35d794b18779452](/math/files/tex/954a3ac7bc07c823d35d794b18779452.png)
الآن إن كانت
![الاساس للفضاء التوبولوجي C23e8a4a531b03582cbdf3ee0a4502d6](/math/files/tex/c23e8a4a531b03582cbdf3ee0a4502d6.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 1339334d785688e5972b38bfc1ed4987](/math/files/tex/1339334d785688e5972b38bfc1ed4987.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 9423a83d14dbbde05c53c92d82762dc1](/math/files/tex/9423a83d14dbbde05c53c92d82762dc1.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي C88ad661d1aaea93bcef0a27e5de91a7](/math/files/tex/c88ad661d1aaea93bcef0a27e5de91a7.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 142cfcaad4fb8ec2b5f43baa490b49d6](/math/files/tex/142cfcaad4fb8ec2b5f43baa490b49d6.png)
أي أن
![الاساس للفضاء التوبولوجي E7e552ff4a92150ffefe4c5d424187eb](/math/files/tex/e7e552ff4a92150ffefe4c5d424187eb.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي F73c667b5446dd2d92ac28aada38134e](/math/files/tex/f73c667b5446dd2d92ac28aada38134e.png)
واضح من خلال هذه النتيجة أن يمكطن البحث فقط عن مجموعات بفتوحة بحيث تحقق الشروط المذكورة يكون أقل سهولة لإيجاد الأساس للتوبولوجي .
فمثلاً في الفضاء التوبولوجي المعتاد على
![الاساس للفضاء التوبولوجي A8d1c5da11e1f0f08159f73a859c4e70](/math/files/tex/a8d1c5da11e1f0f08159f73a859c4e70.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي Bb450cca83216c6501f43da36200d545](/math/files/tex/bb450cca83216c6501f43da36200d545.png)
الآن للأساس دور هام في مقارنة التوبولوجي على مجموعة
![الاساس للفضاء التوبولوجي 02129bb861061d1a052c592e2dc6b383](/math/files/tex/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png)
نظرية (3) :
لتكن
![الاساس للفضاء التوبولوجي Ace7f7dcbdadd0ec0c625f07994a7bc0](/math/files/tex/ace7f7dcbdadd0ec0c625f07994a7bc0.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي D758c488f58e0f549e9471eb433ea9e5](/math/files/tex/d758c488f58e0f549e9471eb433ea9e5.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 9f574c91198cf048527d58e6644554dc](/math/files/tex/9f574c91198cf048527d58e6644554dc.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي F601c2980da526b7e4a4b88b1c1a8524](/math/files/tex/f601c2980da526b7e4a4b88b1c1a8524.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 04da236cfd5d0ca7ece4244ed0284f69](/math/files/tex/04da236cfd5d0ca7ece4244ed0284f69.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 02129bb861061d1a052c592e2dc6b383](/math/files/tex/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png)
1)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 9765fc16ae5d347fe949b44515d1f575](/math/files/tex/9765fc16ae5d347fe949b44515d1f575.png)
2) إذا كانت
![الاساس للفضاء التوبولوجي 735b05e6097f98da56f2ca14b8005d36](/math/files/tex/735b05e6097f98da56f2ca14b8005d36.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 25a9e7d42a06a2b8b0519c5991564164](/math/files/tex/25a9e7d42a06a2b8b0519c5991564164.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 62a0c50bb485d2a78cbb470ec6315ed7](/math/files/tex/62a0c50bb485d2a78cbb470ec6315ed7.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 76252dcbc72647668e6b4655d782207a](/math/files/tex/76252dcbc72647668e6b4655d782207a.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 1e4c97ba737e17ddc6ce494d94513e67](/math/files/tex/1e4c97ba737e17ddc6ce494d94513e67.png)
الإثبات :
(1)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 45aacf4a1efb921dbc63eeb51396b208](/math/files/tex/45aacf4a1efb921dbc63eeb51396b208.png)
لتكن حسب الشرط الثاني
![الاساس للفضاء التوبولوجي 735b05e6097f98da56f2ca14b8005d36](/math/files/tex/735b05e6097f98da56f2ca14b8005d36.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 62a0c50bb485d2a78cbb470ec6315ed7](/math/files/tex/62a0c50bb485d2a78cbb470ec6315ed7.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 3aa20d79d9aae150a84d540e1443a8f6](/math/files/tex/3aa20d79d9aae150a84d540e1443a8f6.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 29a0446a46993a5c169f6f009f72f780](/math/files/tex/29a0446a46993a5c169f6f009f72f780.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي B65da23728a818fd5af6f752e89a4dff](/math/files/tex/b65da23728a818fd5af6f752e89a4dff.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 04da236cfd5d0ca7ece4244ed0284f69](/math/files/tex/04da236cfd5d0ca7ece4244ed0284f69.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي F601c2980da526b7e4a4b88b1c1a8524](/math/files/tex/f601c2980da526b7e4a4b88b1c1a8524.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 43f236e0c2a30c4f4a9cb79e5225a3ec](/math/files/tex/43f236e0c2a30c4f4a9cb79e5225a3ec.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 0e6e0a4944069164a32f037cd9eba0c3](/math/files/tex/0e6e0a4944069164a32f037cd9eba0c3.png)
(2)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 45aacf4a1efb921dbc63eeb51396b208](/math/files/tex/45aacf4a1efb921dbc63eeb51396b208.png)
لتكن
![الاساس للفضاء التوبولوجي Cb32c0db9af2192b5c961ee0a9c00388](/math/files/tex/cb32c0db9af2192b5c961ee0a9c00388.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي E127194a104c7d88221cef819a274646](/math/files/tex/e127194a104c7d88221cef819a274646.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي D28d5e37070548716b7d5937390cccee](/math/files/tex/d28d5e37070548716b7d5937390cccee.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 624324598a2cf4174902b860198b86c8](/math/files/tex/624324598a2cf4174902b860198b86c8.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 24b3b3c63833ae1e37a2c717e29f3e5d](/math/files/tex/24b3b3c63833ae1e37a2c717e29f3e5d.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 33911f4b74d5e694622c2bb471940771](/math/files/tex/33911f4b74d5e694622c2bb471940771.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 85198070d3424777db4e9d3b0116433b](/math/files/tex/85198070d3424777db4e9d3b0116433b.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي A5d6d84872768e9fd1883890d5311911](/math/files/tex/a5d6d84872768e9fd1883890d5311911.png)
و بالتالي يمكن كتابة
![الاساس للفضاء التوبولوجي 4c614360da93c0a041b22e537de151eb](/math/files/tex/4c614360da93c0a041b22e537de151eb.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 25b189ce0d6437799ab7f7faf111a5aa](/math/files/tex/25b189ce0d6437799ab7f7faf111a5aa.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 78cbc14064ba3a651ad431a583c7a725](/math/files/tex/78cbc14064ba3a651ad431a583c7a725.png)
وهو المطلوب .
لاحظ أن أهمية هذه النظرية تكمن في مقارنة التوبولوجي بواسطة عناصر الأساس ، و لكن كيف نستطيع أن نتذكر دائماً أن عناصر التوبولوجي الأقوى دائماً داخل عناصر التوبولوجي الأضعف .
تخيل أن عناصر الأساس للتوبولوجي الأضعف هي حصى (حجارة صغيرة ) ، و تخيل أن هذه الحصى تم سحقها في آلة سحق معينة ليصبح لدينا تراب ناعم .
و بالتالي ذرات التراب هي عناصر الأساس للتوبولوجي الأقوى ، أي أن ذرات التراب تنتمي لحصى من التوبولوجي الأضعف .
نلاحظ من النظرية السابقة نتيجة هامة لمعرفة إن كان التوبولوجيين متساويين عن طريق عناصر الأساس و هي :
نتيجة (2) :
لتكن
![الاساس للفضاء التوبولوجي Ace7f7dcbdadd0ec0c625f07994a7bc0](/math/files/tex/ace7f7dcbdadd0ec0c625f07994a7bc0.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي D758c488f58e0f549e9471eb433ea9e5](/math/files/tex/d758c488f58e0f549e9471eb433ea9e5.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 9f574c91198cf048527d58e6644554dc](/math/files/tex/9f574c91198cf048527d58e6644554dc.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي F601c2980da526b7e4a4b88b1c1a8524](/math/files/tex/f601c2980da526b7e4a4b88b1c1a8524.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 04da236cfd5d0ca7ece4244ed0284f69](/math/files/tex/04da236cfd5d0ca7ece4244ed0284f69.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 02129bb861061d1a052c592e2dc6b383](/math/files/tex/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي Bd8de402905b7f6ac3b7b5d545fa8ac1](/math/files/tex/bd8de402905b7f6ac3b7b5d545fa8ac1.png)
1) إذا كانت
![الاساس للفضاء التوبولوجي 735b05e6097f98da56f2ca14b8005d36](/math/files/tex/735b05e6097f98da56f2ca14b8005d36.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 25a9e7d42a06a2b8b0519c5991564164](/math/files/tex/25a9e7d42a06a2b8b0519c5991564164.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 62a0c50bb485d2a78cbb470ec6315ed7](/math/files/tex/62a0c50bb485d2a78cbb470ec6315ed7.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 76252dcbc72647668e6b4655d782207a](/math/files/tex/76252dcbc72647668e6b4655d782207a.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 1e4c97ba737e17ddc6ce494d94513e67](/math/files/tex/1e4c97ba737e17ddc6ce494d94513e67.png)
2) إذا كانت
![الاساس للفضاء التوبولوجي 735b05e6097f98da56f2ca14b8005d36](/math/files/tex/735b05e6097f98da56f2ca14b8005d36.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 43f236e0c2a30c4f4a9cb79e5225a3ec](/math/files/tex/43f236e0c2a30c4f4a9cb79e5225a3ec.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 480df7d5ead1f40d393bd8dd6509d2f3](/math/files/tex/480df7d5ead1f40d393bd8dd6509d2f3.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 9ff96d9967df2baac5412f355ad5b56b](/math/files/tex/9ff96d9967df2baac5412f355ad5b56b.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي Ed5a43bdf97b43aa50eafff2699bc477](/math/files/tex/ed5a43bdf97b43aa50eafff2699bc477.png)
الإثبات : اتبع نفس التكنبك الذي اتبع في إثبات النظرية (3) .
أي أنه يمكن أن يتواجد أكثر من أساس للفضاء بحيث كلها تؤدي إلى توليد نفس التوبولوجي .
فمثلاً :
في الفضاء التوبولوجي
![الاساس للفضاء التوبولوجي Bb1ec2f690b77bb07c2ac6b07b81e2bb](/math/files/tex/bb1ec2f690b77bb07c2ac6b07b81e2bb.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 9cc1aa06a684d10a5434c7b88f4581a0](/math/files/tex/9cc1aa06a684d10a5434c7b88f4581a0.png)
و أيضاً الأساس :
![الاساس للفضاء التوبولوجي 4aa63a8051b671da7b90469e46df1145](/math/files/tex/4aa63a8051b671da7b90469e46df1145.png)
و أيضاً الأساس :
![الاساس للفضاء التوبولوجي D7900a091fb392c76a92fae01dd7c5d4](/math/files/tex/d7900a091fb392c76a92fae01dd7c5d4.png)
تولد جميعها نفس التوبولوجي .
فكر : هل يوجد غير للتوبولوجي المعتاد ؟؟؟
و نلاحظ أيضاً في المثال السابق :
في الفضاء الإقليدي التربيعي
![الاساس للفضاء التوبولوجي Ea4fbd9d8097645e3db5ebe4d307774b](/math/files/tex/ea4fbd9d8097645e3db5ebe4d307774b.png)
و السبب انظر الشكل :
الأساس للفضاء التوبولوجي الجزئي :
نظرية (4) :
ليكن لدينا
![الاساس للفضاء التوبولوجي 3e63bf1a38d519df6a47a0453c356d48](/math/files/tex/3e63bf1a38d519df6a47a0453c356d48.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 7489e59d42c3d99fc154e17283675b81](/math/files/tex/7489e59d42c3d99fc154e17283675b81.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي A6f317b268ae825d94f832f970af607c](/math/files/tex/a6f317b268ae825d94f832f970af607c.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي Dc64604faaab752842bd609265adf5e4](/math/files/tex/dc64604faaab752842bd609265adf5e4.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 52a1d4bb11e72e0b09cf62eb318d2959](/math/files/tex/52a1d4bb11e72e0b09cf62eb318d2959.png)
عبارة عن أساس للفضاء للتوبولوجي
![الاساس للفضاء التوبولوجي 5d4cf72ac2474014f278dac151047806](/math/files/tex/5d4cf72ac2474014f278dac151047806.png)
الإثبات :
1) بما أن
![الاساس للفضاء التوبولوجي 70298a55f12c65976f928bae7ec4c7b5](/math/files/tex/70298a55f12c65976f928bae7ec4c7b5.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 9e594422023ed8bb8b86918ec446e7fa](/math/files/tex/9e594422023ed8bb8b86918ec446e7fa.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 5aa619a09d99182cc48daee266feb8f2](/math/files/tex/5aa619a09d99182cc48daee266feb8f2.png)
2) لتكن
![الاساس للفضاء التوبولوجي 9b0180e316d7f72ce9bbdee24cc5a9f6](/math/files/tex/9b0180e316d7f72ce9bbdee24cc5a9f6.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي F19db6e3b5c32cbb403cb390a9dc3be6](/math/files/tex/f19db6e3b5c32cbb403cb390a9dc3be6.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 638d2c0743155caa6babb0ccc1e748e7](/math/files/tex/638d2c0743155caa6babb0ccc1e748e7.png)
و لكن
![الاساس للفضاء التوبولوجي C176640e77a0041eaa333c86f24dd9af](/math/files/tex/c176640e77a0041eaa333c86f24dd9af.png)
و بالتالي :
![الاساس للفضاء التوبولوجي Bf2db85adef36ca5a8f4c005962dbc30](/math/files/tex/bf2db85adef36ca5a8f4c005962dbc30.png)
أي أن
![الاساس للفضاء التوبولوجي 069f9c87a4c87f891deed9176d611c8e](/math/files/tex/069f9c87a4c87f891deed9176d611c8e.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 5d4cf72ac2474014f278dac151047806](/math/files/tex/5d4cf72ac2474014f278dac151047806.png)
قد أوضحنا سابقاً مثال يبن كيفية بناء الأساس للتوبولوجي الجزئي و هو :
مثال (*) :
ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي المعتاد على
![الاساس للفضاء التوبولوجي A8d1c5da11e1f0f08159f73a859c4e70](/math/files/tex/a8d1c5da11e1f0f08159f73a859c4e70.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 36b072a3b46bba13cddcf31e25beff26](/math/files/tex/36b072a3b46bba13cddcf31e25beff26.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 5d4cf72ac2474014f278dac151047806](/math/files/tex/5d4cf72ac2474014f278dac151047806.png)
الحل :
الآن بما أنه
![الاساس للفضاء التوبولوجي 7dfb7cd3b1345c90ca0ecbfe382f239a](/math/files/tex/7dfb7cd3b1345c90ca0ecbfe382f239a.png)
![الاساس للفضاء التوبولوجي 0a0258a9fcc1a8501a349804e03f2a7b](/math/files/tex/0a0258a9fcc1a8501a349804e03f2a7b.png)
و هذه هي عناصر الأساس للتوبولوجي
![الاساس للفضاء التوبولوجي 5d4cf72ac2474014f278dac151047806](/math/files/tex/5d4cf72ac2474014f278dac151047806.png)
المراجع :
1) General Topology , Paul Long
2)