تفاضل

التفاضل

المبدأ
يعتمد التفاضل على إيجاد معادلة لإيجاد الميل عند نقطة معينة عن طريق تقليل الفرق بين التغير في قيم س إلى صفر تقريبا وهذا هو الاشتقاق

إذ أن قاعدة الميل هي: Δص\Δس

إذن Δس تؤول إلى صفر

أي أن س2-س1---->صفر

أي أن س2---->س1

وبما أن Δس لا تساوي صفر ولكن تقترب منها فإن القيمة لا تصبح غير معرفة

أي أن Δص\Δس : Δس---->صفر

= ص2-ص1\س2-س1 : س2---->س1

= ق(س2)-ق(س1)\س2-س1 : س2---->س1




ومن هنا نستنتج أن الاشتقاق هو ميل مماس نقطة معينة في المنحنى، ونستنتج أيضا أن المماس ليس مارا

بنقطة واحدة، وإنما بنقطتين البعد السيني بينهما قريب جدا من الصفر أي أنه يؤول إلى الصفر


طريقة الحل
نقوم بالاشتقاق معتمدين على حساب النهايات وفرض متغيرات مختلفة، فمثلا:

كمتغيرات:

Δس = س2 - س1

س1 = س2 - Δس

س2 = Δس س1

ونفرض Δس = هـ

أو يمكننا فرض س2 = ج

ونقوم بدلا من كتابة ص بكتابة ق(س)

أي أن المعادلة النهائية هي:

ق(س2) - ق(س1)\س2 - س1 : س2---->س1 = ق(س هـ) - ق(س)\هـ : هـ---->صفر = ق(ج) - ق(س)\ج - س : ج---->س1




'==مثال==

أوجد مشتقةس²

وحسب القانون : ق(س هـ)-ق(س)\هـ : هـ---->صفر

ونعوض في المعادلة

س² 2س هـ هـ²-س²\هـ : هـ---->صفر

نحل المعادلة

س²-س² هـ(2س هـ)\هـ : هـ---->صفر

= هـ(2س هـ)\هـ : هـ---->صفر

= 2س هـ : هـ---->صفر

= 2س

وفعلا مشتقة س² = 2س

وكقاعدة عامة، فإن مشتقة أي كثير حدود درجته أكبر من صفر هي:

ق(س) = أس^ع ب س^(ع-1) ... ج

قَ(س) = (أ×ع)س^(ع-1) (ب(ع-1))س^(س-2) ... 0


الاشتقاق الضمني
هذا الاشتقاق يعمد إلى إيجاد ميول المماسات في الاقترانات التي ليست اقترانات، حيث يعجز الاشتقاق العادي عنها.

فتمثيل الاشتقاق يكون ب ( دص\دس ) تمثيلا لكتابة ص بواسطة س، أي أن ص = أس^ع وس^ك ...

أي أن قيمة ص تحدد بقيمة س

وإذا أخذنا الاشتقاق ( دس\دص ) فإننا وقتها نعتبر قيمة س تتغير وفقا ل ص

أي أن س = أص^ع وص^ك ...

إذن دص\دس تعبر عن ق(س) وكذلك دس\دص يعبر عن د(ص)

ودائما يتغير المتغير الذي في الأعلى ويبقى الذي في الأسفل ثابتا


مثال
إذا أردنا إيجاد دص\دس في الاقتران

ق(س) = س³ 3س²-2س 4

قَ(س) = 3س² 6س-2

وهذا وفقا لتعميم

والحل بالطريقة الجديدة

قَ(س) = 3س²( دس\دس ) 6س( دس\دس )-2( دس\دس )

وبما أن دس\دس = 1 فإنها لا تؤثر على النتيجة ويكون الجواب النهائي : قَ(س) = 3س² 6س-2





مثال 2
وإذا أردنا أن نجد مشتقة علاقة مثل معادلة الدائرة فإننا لن نستطيع بالاشتقاق العادي وإنما بالاشتقاق الضمني:

ص² س²=25

أوجد الميل في النقطة (3،4)

نقوم بالاشتقاق ل ( دص\دس )

2ص × ( دص\دس ) 2س × ( دس\دس ) = 0

نعوض

6 × ( دص\دس ) 8 = 0

نعتبر ( دص\دس ) كمتغير ونحل المعادلة

6 × ( دص\دس ) = -8

( دص\دس ) = -8\6 = -4\3