منتدى طلاب جامعة الحديدة

أخي الزائر إن لم تكن عضواً في المنتدى فنحن ندعوك لكي تنظم إلينا وشكراً تحيات مدير المنتدى طارق البغوي

انضم إلى المنتدى ، فالأمر سريع وسهل

منتدى طلاب جامعة الحديدة

أخي الزائر إن لم تكن عضواً في المنتدى فنحن ندعوك لكي تنظم إلينا وشكراً تحيات مدير المنتدى طارق البغوي

منتدى طلاب جامعة الحديدة

هل تريد التفاعل مع هذه المساهمة؟ كل ما عليك هو إنشاء حساب جديد ببضع خطوات أو تسجيل الدخول للمتابعة.
منتدى طلاب جامعة الحديدة


4 posters

    مشتقة بعض الدوال

    طارق البغوي
    طارق البغوي
    المدير العام للمنتدى
    المدير العام للمنتدى

    ذكر
    عدد الرسائل : 2833
    العمر : 33
    البلد : الجهورية اليمنية
    القسم والمستوى : خريج قسم الرياضيات 2010م
    المزاج : متقلب ( مزاج شاعر )
    أختر علم دولتك : مشتقة بعض الدوال Female10
      : مشتقة بعض الدوال 15781610
    السٌّمعَة : 14
    نقاط : 985
    تاريخ التسجيل : 28/09/2007

    بطاقة الشخصية
    تخصصي: رياضيات
    المحافظة: الحديدة

    مشتقة بعض الدوال Empty مشتقة بعض الدوال

    مُساهمة من طرف طارق البغوي السبت أبريل 05, 2008 8:01 pm

    كي نفهم معنى اللوغارتمات يجب أن نعرف معنى الدوال المسماة بـ (inverse functions) ( آسف، ما أعرف معناها بالعربي يمكن الدوال العكسية) طيب أنا سأسميها الدوال العكسية مجازاً، في خلال الشرح...

    ما هي الدوال العكسية؟؟؟؟؟

    الدالة العكسية لدالة من مجهولين هي نفس الدالة لكن بإبدال كل مجهول (X,Y مثلاً) مكان الآخر فتبدل الـ X مكان الـ Y و الـ Y مكان الـ X ، ثم توضع الـ Y لوحدها في طرف المعادلة و الباقي في الطرف الآخر، وتنتج لنا الدالة العكسية...

    مثال/
    الدالة العكسية للدالة Y=2X+3 هي X=2Y+3 ثم نضع الـ Y في طرف فتكون المعادلة في شكلها الأخير Y=X/2-3/2

    ومن صفاتها أن مجال الدالة من هذه الدوال العكسية هو نفس المجال المقابل للدالة الأصلية لها ومجالها المقابل هو نفس مجال الدالة الأصلية (لماذا ؟؟)

    من صفاتها أيضاً أنه لو عوضنا بالدالة العكسية عن الـ X في الدالة الأصلي كان الناتج هو X .. يعني بشكل آخر... لو فرضنا أن الدالة الأصلية هي ع(س) والدالة العكسية لها هي د(س) فإن هذه علاقة صحيحة...

    ع(د(س)) = س ، والعكس صحيح أيضاً فـ د(ع(س)) = س .

    هناك صفة أخرى تهمنا في الدوال العكسية، وهي أنه لو نظرنا إلى شكل (رسم) الدالة العكسية لدالة ما لوجدنا أنه نفس الشكل ولكنه معكوس (reflected) كالمرآة بالنسبة للخط ( أو بتعبير آخر: حول الخط) Y=X


    نسيت أن أذكر أنه حتى يكون لدالة ما دالة عكسية inverse function يجب أن تكون هذه الدالة تطبيق متقابل أي ما يسمى بالإنكليزية (one-to-one function) يعني يكون لكل قيمة في الـ س ناتج واحد في الـ ص، وبشكل آخر لا يمكن أن تكون هناك نقطتان (2,4) و (2,3)، وأن لا تكون 2 مثلاً في مجال س ولا يوجد لها حل أو ناتج في الـ ص .

    والآن بعد أن تطرقنا إلى الدوال العكسية ننتقل إلى ما يسمى بالدوال الأسية:

    تعريف الدالة الأسية هو:

    الدالة الأسية (exponential functions): د(س) مع القاعدة (base) (ب) تُعَرّف بـ القاعدة: د(س)= ب^س
    (بشرط أن ب>0 , ب لا يساوي 1 و س ينتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية (ح) )

    لاحظتم من التعريف أن القاعدة يجب أن تكون عدداً موجباً وسبب هذا أنه لو كانت عدداً سالباً فستكون قيمة الدالة غير معرفة لبعض قيم الـ (س)، سأعطيكم مثالاً ليزداد الفهم:

    مثال/
    قيمة د(س)= (-5)^س, عندما س=2/1، هي:
    د(2/1) = (-4)^(2/1) = الجذر التربيعي لـ (-4) وهو غير معرف في مجموعة الأعداد الحقيقية.

    كما لاحظتم من التعريف أيضاً أن القاعدة لا يمكن أن تساوي 1 لأن 1^س=1 لكل قيم (س)، فتكون هنا دالة خطية وليست أسية، ولا تنطبق عليها بعض خواص الدوال الأسية.

    كما لاحظتم أيضاً أن القاعدة (ب) لا يمكن أن تساوي صفراً لأن 0^س=0 عندما تكون س>0 , ولأن 0^س غير معرفة عندما تكون قيم (س) أصغر من أو يساوي الصفر.

    خصائص الدوال الأسية:
    (لاحظوا أنه يجب أن تكون الدالة بالشروط التي ذكرناها بمعنى أن تكون القاعدة (ب) موجبة ولا تساوي صفراً)

    لدالة أسية د(س) لها قاعدة (ب) فإن:

    1- مجال د(س) هو مجموعة الأعداد الحقيقية.
    2-المجال المقابل لـ د(س) هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة فقط (لماذا؟؟).
    3-د(س) تقطع خط الصادات في (0,1) أي عندما س=0 فإن ص أو د(س) =1 دائماً
    4-الدالة د(س) عبارة عن تطبيق متقابل أو تقابلي (لا أذكر الاسم العربي بالضبط ) one-to-one function .
    5-عندما (ب)>1 فإن: د(س)------>0 عندما س------> سالب ما لا نهاية.
    6- عندما 0<(ب)<1 فإن: د(س) ------->0 عندما س------> ما لا نهاية.
    7- د(س) هي دالة متزايدة عندما (ب)>1، ودالة متناقصة عندما 0<(ب)<1.

    سأحاول أن أشرح الخاصيتين 5 و 6 باختصار:

    أ-عندما تكون القاعدة أكبر من الواحد فإن قيمة الدالة تزداد كلما ازدادت قيمة السين وتنقص كلما نقصت، حتى تصل إلى الصفر عندما تكون س = سالب ما لا نهاية، كما في المثال التالي:

    مثال/
    عندما د(س)= 2^س، فإن:
    2^3=8 ، 2^2=4 ، 2^1=2 ، 2^0=1 ، 2^-1=2/1 ، 2^-2=4/1 ، وهكذا تصغر القيمة حتى تصل إلى الصفر عند س= سالب ما لا نهاية .

    ب- عندما تكون القاعدة بين الصفر والواحد فإن قيمة الدالة تنقص كلما ازدادت قيمة السين وتزداد كلما نقصت، حتى تصل إلى الصفر عندما تكون س = ما لا نهاية، كما في المثال التالي:

    مثال/
    عندما د(س)= (2/1)^س، فإن:
    (2/1)^-3=8 ، (2/1)^-2=4 ، (2/1)^-1=2 ، (2/1)^0=1 ، (2/1)^1=(2/1) ، (2/1)^2=(4/1) ، (2/1)^3=(8/1) ، (2/1)^4=(16/1) ، وهكذا تصغر القيمة حتى تصل إلى الصفر عند س= ما لا نهاية

    قلنا سابقاً في خصائص الدوال الأسية أن:

    4-الدالة د(س) عبارة عن تطبيق متقابل أو تقابلي (لا أذكر الاسم العربي بالضبط ) one-to-one function .


    وبما أن الدوال الأسية هي تطبيق متقابل ( one-to-one function ) فإن لها بالتأكيد دوالاً عكسية لأننا قلنا أنه لكل one-to-one function فإن هناك دالة عكسية inverse functions لهذه الدالة...

    هممممممم ... حسناً، لنحاول تطبيق ما تعلمناه سابقاً في إيجاد الدالة العكسية ع(س) لدالة أسية د(س) = (ب^س) مثلاً، ولنقل:

    1- د(س) = ب^س (نقلب د(س) إلى (ص) )

    2- ص = ب^س ( نبدل الـ س والـ ص ببعضهما البعض)

    3- س = ب^ص

    تنبيه: (لاحظ هنا أنه يشترط للقاعدة (ب) نفس الشروط السابقة (ولنفس الأسباب) التي اشترطناها في الدوال الأسية، بفرق أن الشرط أصبح للـ ص وليس للـ س، ( أي بشرط أن ب>0 , ب لا يساوي 1 و ((ص))=ع(س) ينتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية (ح) )

    .................................................. .

    سنحاول هنا أن نتعرف على خواص هذه الدالة العكسية التي استخرجناها ولنسمها ع(س) استناداً إلى خواص الدالة الأصلية لها والتي سنسميها د(س) وهي دالة أسية من خلال النقاط التالية، فنقول:

    بما أن:


    اقتباس:

    ومن صفاتها أن مجال الدالة من هذه الدوال العكسية هو نفس المجال المقابل للدالة الأصلية لها ومجالها المقابل هو نفس مجال الدالة الأصلية

    .

    إذا فإن:

    1- مجال ع(س) هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة فقط.
    2-المجال المقابل لـ ع(س) هو مجموعة الأعداد الحقيقية.

    .................................................. ......

    وبما أن الـ س في د(س) تصبح ص في ع(س) و الـ ص في د(س) تصبح س في ع(س)، والعكس...

    وبما أن:

    3-د(س) تقطع خط الصادات في (0,1) أي عندما س=0 فإن ص أو د(س) =1 دائماً

    فإننا نستنتج الخاصية التالية:

    3- ع(س) تقطع خط السينات في (1,0) أي عندما س=1 فإن ص أو ع(س) =0 دائماً

    ........................

    وبما أن الدالة الأصلية لدالة عكسية هي دالة ذات تطبيق متقابل (أي دالة لا يوجد لكل قيمة في الـ س فيها إلا ناتج واحد فقط في الـ ص)، وبما أننا قلبنا الـ س بالـ ص والـ ص بالـ س في الدالة العكسية فإنه يبقى أن (لكل قيمة في الـ س ناتج واحد فقط في الـ ص للدالة العكسية) أي أنها تطبيق متقابل....

    فإنه من هذا الكلام ينتج لنا الخاصية التالية:

    4-الدالة ع(س) هي عبارة عن تطبيق متقابل أو تقابلي one-to-one function .

    ..................................

    وبما أنه تم إبدال المجال والمجال المقابل في الدوال العكسية فإننا نستطيع أن صيغ الخاصيتين (5) و (6) بالشكل التالي:

    5- عندما (ب)>1 فإن: س------>0 عندما ع(س)------> سالب ما لا نهاية.
    6- عندما 0<(ب)<1 فإن: س------->0 عندما ع(س)------> ما لا نهاية.

    .................................................. ...........................

    7- ع(س) هي دالة متزايدة عندما (ب)>1، ودالة متناقصة عندما 0<(ب)<1 (لماذا ؟؟ )

    خلاصة ما سبق:

    الدوال العكسية للدوال الأسية لها الخصائص التالية:

    1- مجال ع(س) هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة فقط.
    2-المجال المقابل لـ ع(س) هو مجموعة الأعداد الحقيقية.
    3- ع(س) تقطع خط السينات في (1,0) أي عندما س=1 فإن ص أو ع(س) =0 دائماً
    4-الدالة ع(س) هي عبارة عن تطبيق متقابل أو تقابلي one-to-one function .
    5- عندما (ب)>1 فإن: س------>0 عندما ع(س)------> سالب ما لا نهاية.
    6- عندما 0<(ب)<1 فإن: س------->0 عندما ع(س)------> ما لا نهاية.
    7- ع(س) هي دالة متزايدة عندما (ب)>1، ودالة متناقصة عندما 0<(ب)<1 (لماذا ؟؟)

    .................................................. ...
    لحظة أوووووووه، نسيت
    .
    كان يجب أن أضع الـ ص في (س =ب^ص)، في طرف لوحدها.
    .
    ولكن
    .
    كيف نضع الـ ص في طرف لوحدها

    سأحاول هنا أن أشرح ما الذي عمله علماء الرياضيات لتفادي هذه المشكلة، فأقول:

    حاول العلماء تعريف الـ ص في (س=ب^ص) تعريفاً رياضياً ومساواتها بشيء ما، (أي جعلها في طرف لوحدها) فقالوا أن الـ ص هي عبارة عن: (القوة المرفوعة للأساس (ب) والتي تعطي (أو تُكَوّن) العدد (س)، ولكن تعريفهم هذا يحتاج أن يأخذ شكلاً رياضياً لكي يمكن التعامل معه، لذلك فقد اتفق العلماء على هذه الصيغة لتعريف الـ ص، مطلقين عليها اللوغاريتمات، وسنحاول هنا أن نبين هذا بصورة مبسطة...

    تعريف الدالة اللوغاريتمية (الدالة العكسية للدالة الأسية):

    (بشرط ب>0 , ب لا يساوي 1 و ((ص))=ع(س) ينتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية (ح) , س ينتمي إلى الأعداد الحقيقية الموجبة)

    فإن:

    ص = لوغ(ب) س إذا وفقط إذا كان س = ب^ص (أو بصيغة أخرى ص = لوغ(ب) س <=====> س = ب^ص)

    (حيث (ب) هو أساس اللوغاريتم , (ص = لوغ(ب) س) هي القوة التي ترفع للأساس (ب) لينتج لنا س , س هو ناتج ب^ص)

    ملاحظة: {بالنسبة للأقواس الصغيرة الموجودة بعد كلمة (لوغ) فقد كتبتها هكذا لعدم استطاعتي كتابتَها الكتابة الصحيحة، وهي تعني أساس اللوغاريتم وتكتب في الأصل بحجم عادي في أسفل يسار كلمة (لوغ) }

    وسأعطيكم هنا بعض الأمثلة للتوضيح:

    مثال 1/ حول المعادلات التالية إلى صيغها اللوغاريتمية:

    2^3=8 , 4^(2/1)=2

    الحل/

    2^3=8 ======> 3= لوغ(2) 8

    4^(2/1)=2 ======> 5.=لوغ(4) 2

    مثال 2/ حول الصيغ اللوغاريتمية الآتية إلى صيغ أسية:

    3= لوغ(10) 1000 , 2=لوغ(4) 16

    الحل/

    3= لوغ(10) 1000 =====> 10^3 =1000

    2= لوغ(4) 16 =====> 4^2=16

    بعض خصائص اللوغاريتمات:
    -----------------------------------------------------
    بما أن:


    اقتباس:

    ومن صفاتها (أي الدوال العكسية) أيضاً أنه لو عوضنا بالدالة العكسية عن الـ X في الدالة الأصلي كان الناتج هو X .. يعني بشكل آخر... لو فرضنا أن الدالة الأصلية هي ع(س) والدالة العكسية لها هي د(س) فإن هذه علاقة صحيحة...

    ع(د(س)) = س ، والعكس صحيح أيضاً فـ د(ع(س)) = س .


    فإنه لدالة (د(س)= ب^س)، لها دالة عكسية (ع(س)= لوغ(ب) س، فإن هاتين القاعدتين صحيحتين:

    أ- د(ع(س))= ب^لوغ(ب) س = س

    ب- ع(د(س))= لوغ(ب) (ب^س) = س

    مثال للقاعدة أ: ص= 2^لوغ(2) 8 ، أوجد ص.

    الحل/ ص= 2^لوغ(2) 8 = 8

    مثال للقاعدة ب: ص= لوغ(2) 8 ، أوجد (ص) :

    الحل/ ص= لوغ(2) 8 = لوغ(2) (2^3) =3

    ------------------------------------------------

    ج- لوغ(ب) (أ.ج.د) = لوغ(ب) أ + لوغ(ب) ج + لوغ(ب) د

    ------------------------------------------------

    د- لوغ(ب) (أ/ج) = لوغ(ب) أ - لوغ(ب) ج ...

    وكذلك: لوغ(ب) (أ.ج/د) = (لوغ(ب) (أ.ج) - لوغ(ب) د = لوغ(ب) أ + لوغ(ب) ج - لوغ(ب) د

    {سؤال للقراء: (أثبت الخاصيتين (ج) و (د) )}
    ------------------------------------------------

    هـ- لوغ(ب) 1 = 0 , لأن لوغ(ب) 1 = 0 <====> (ب^0 = 1)

    ------------------------------------------------

    و- لوغ(ب) ب = 1 لأن لوغ(ب) ب = 1 <====> (ب^1 = ب)

    تنبيه: (لوغ(1) 1 غير معرف ولا يساوي 1 لأن القاعدة (ب) لا يمكن أن تساوي 1 ...

    ز- إضافة إلى الخصائص السبع التي ذكرناها في الجزء الثالث (للدوال العكسية للدوال الأسية (الدوال اللوغاريتمية


    _________________

    أذا ما ذكرت أسمها بت أغفوا


    أعانقها في هدوء الحياء


    وصمت المحبة


    أرشف من هجرها


    نبع روحي


    لتنبت بين ضفائرها قصة


    تقول ألتقينا ...


    والكن ...


    على نصف حلم بكينا


    فتغتصب الشوق

    الكمراني
    الكمراني
    مستشار إداري
    مستشار إداري

    ذكر
    عدد الرسائل : 730
    العمر : 33
    البلد : اليمن
    القسم والمستوى : مش مشغول
    المزاج : متعكر
      : مشتقة بعض الدوال 15781610
    السٌّمعَة : 5
    نقاط : 29
    تاريخ التسجيل : 02/11/2007

    بطاقة الشخصية
    تخصصي: رياضيات
    المحافظة: الحديدة

    مشتقة بعض الدوال Empty رد: مشتقة بعض الدوال

    مُساهمة من طرف الكمراني الإثنين أبريل 07, 2008 4:19 am

    موضوع حلو

    مع الشكر
    طارق البغوي
    طارق البغوي
    المدير العام للمنتدى
    المدير العام للمنتدى

    ذكر
    عدد الرسائل : 2833
    العمر : 33
    البلد : الجهورية اليمنية
    القسم والمستوى : خريج قسم الرياضيات 2010م
    المزاج : متقلب ( مزاج شاعر )
    أختر علم دولتك : مشتقة بعض الدوال Female10
      : مشتقة بعض الدوال 15781610
    السٌّمعَة : 14
    نقاط : 985
    تاريخ التسجيل : 28/09/2007

    بطاقة الشخصية
    تخصصي: رياضيات
    المحافظة: الحديدة

    مشتقة بعض الدوال Empty رد: مشتقة بعض الدوال

    مُساهمة من طرف طارق البغوي الإثنين أبريل 07, 2008 8:25 am

    مشكور أخ سمير


    _________________

    أذا ما ذكرت أسمها بت أغفوا


    أعانقها في هدوء الحياء


    وصمت المحبة


    أرشف من هجرها


    نبع روحي


    لتنبت بين ضفائرها قصة


    تقول ألتقينا ...


    والكن ...


    على نصف حلم بكينا


    فتغتصب الشوق

    القناص
    القناص
    عضو جديد
    عضو جديد

    ذكر
    عدد الرسائل : 13
    العمر : 34
    البلد : اليمن
    القسم والمستوى : قسم الالعاب مستوى متقدم
    المزاج : حدر ومتسامح
      : مشتقة بعض الدوال 15781610
    السٌّمعَة : 0
    نقاط : 2
    تاريخ التسجيل : 16/04/2008

    مشتقة بعض الدوال Empty رد: مشتقة بعض الدوال

    مُساهمة من طرف القناص الخميس أغسطس 28, 2008 2:47 am

    موضوع جميل
    بصراحة أنت الافضل
    عبد الواسع عمر الرمانه
    عبد الواسع عمر الرمانه
    طالب لا يضاها
    طالب لا يضاها

    ذكر
    عدد الرسائل : 1299
    العمر : 35
    البلد : اليمن
    القسم والمستوى : أستاد حاسوب
    المزاج : عسل+سكرزياده
      : مشتقة بعض الدوال 15781610
    السٌّمعَة : 5
    نقاط : 430
    تاريخ التسجيل : 14/10/2007

    بطاقة الشخصية
    تخصصي: حاسوب
    المحافظة: الحديدة

    مشتقة بعض الدوال Empty رد: مشتقة بعض الدوال

    مُساهمة من طرف عبد الواسع عمر الرمانه الأحد أكتوبر 26, 2008 7:29 am

    مشكور لك أخ طارق على هذا الموضوع

    المفيد نسأل الله أن ينير لك الطريق

    الى الامام ودمت في رعايه الله

      الوقت/التاريخ الآن هو الجمعة يوليو 30, 2021 12:06 pm