أسئلة وتعريفات عددية ورياضية

السؤال الأول : ما هو أكبر عدد أولي ؟




أكبر عدد أولي معروف لحد الآن هو العدد : 2^6972593-1 ، و الذي اكتشفه فريق عمل ضمن مجموعة (GIMPS) و هم : Hajratwala,Woltman and Kurowski .



حيث يتكون هذا الفريق من الأشخص الثلاثة المهتمين بالإضافة إلى آخرين ، حيث استطاع Hajratwala الوصول إلى هذا العدد مستخدما برنامج وضعه Woltman موصول بقواعد بيانات المجموعة في الشبكة العالمية عن طريق شبكة Kurowski للأعداد الأولية .

بالنسبة لمكتشف العدد و هو Hajratwala فإنه هندي الأصل و يعمل محصل فواتير ماء في ميتشاغن بالولايات المتحدة و هو أحد 1200 شخص متعاقد مع GIMPS و التي أسسها Woltman في 1986 .



تقدم GIMPS برامج مجانية للكمبيوترات الشخصية لإستخدامها في البحث عن الأعداد الأولية الكبيرة ، أما Hajratwala فإنه استخدم كمبيوتره الشخصي ذو السرعة 350MHz ، و استغرق عمله 111 يوما بتقطع ، و كان بإمكان جهازه إيجاد هذا العدد خلال ثلاثة أسابيع من العمل المتواصل بدون انقطاع ، و يحتوي هذا العدد على 2098960 رقما!!




السؤال الثاني : ما هو حجم هذا الرقم ؟





أكبر عدد أولي تم اكتشافه مؤخرا هو كما ذكرناه و هو 2^6972593-1 ، و هو العدد الثامن و الثلاثون من أعداد ميرسين الأولية ، و عدد أرقامه كما ذكر سابقا 2098960 !!


و لكن لو أردنا أن نكتب هذا العدد فكم سيكون حجمه ؟





لو كتبنا هذا العدد بخط حجمه 10 نقاط بالحاسوب فإن الجدول التالي يوضح حجم هذا الرقم :





قد يبدو مثل هذا الرقم في غاية الفظاعة من حيث هذا الحجم الهائل و نستطيع أن نفسر لماذا يحتاج الحاسوب إلى ثلاثة أسابيع متواصلة من العمل للوصول إلى هذا الرقم ، و لكن كم سيكون حجمه لو زدنا من حجم الخط ؟!!







و في الحقيقة أرى أن جواب ذلك هو نفس جواب السؤال : لماذا يهتم بعض البشر باقتناء الحاجات النادرة ؟ قد يكون عامل التحدي هو الدافع لهذا الإهتمام ، و ربما حب الشهرة و العظمة ، و ربما الدافع الاقتصادي ، و ربما الرغبة في اكتشاف قدرات الآلة ، و ربما لمعرفة الأكثر عن الأعداد ، و يبدو لي أن هذا الإكتشاف سابق لأوانه ، فكما كانت معادلة آينشتاين النسبية عديمة الفائدة حتى تم تفجير القنبلة النووية ، فكذلك سائر الإكتشافات التي تؤتي نتائجها و فوائدها ربما بعد مئات السنين من اكتشافها .

السؤال الرابع : هل الأعداد الأولية لا نهائية ؟



هناك العديد من النظريات التي تثبت أن الأعداد الأولية غير منتهية ، و لعل أول من أثبت ذلك هو إقليدس ، حيث وضع النظرية التالية و أثبتها :

نظرية : هناك عدد لا نهائي من الأعداد الأولية .

البرهان :

لنفرض أن p₁ = 2 < p₂ = 3 < ... < p_r كلها أعداد أولية .



افرض أن : P = p₁p₂p₃...p_r+1 و افرض أن p عدد أولي يقسم P انظر (انظر divides : يقسم إدناه) .، فإن



p من غير الممكن أن يكون أحد الأعداد



p₁ , p₂ , p₃ , ... , p_r و إلا فإن p سوف يقسم الفرق (انظر divides : يقسم إدناه) .





P - p₁p₂p₃...p_r=1 و هذا مستحيل .



و بالتالي هذا العدد p يبقى عددا أوليا آخر ، و الأعداد p₁ , p₂ , p₃ , ... , p_r لن تكون كلها أولية .



divides : يقسم :

هي كقولنا أن 10 يقسم 50 بمعنى يوجد عدد أضربه في 10 يعطيني 50 ، و بالتالي نستطيع أن نستنتج بسهولة استحالة وجود عدد يقسم الواحد لأنه سوف لن أجد عدد ثالث أضربه في هذا العدد و يكون الناتج 1 أو أن الواحد تقسيم هذا العدد لا يعطي عددا صحيحا ) .





أعداد توين الأولية هي الأعداد الأولية من الصورة p و p+2 ( يعني أن الفرق بينهما 2 ) ، و هي أعداد لا نهائية و إن كان ذلك لم يتم إثباته لحد الآن ، و نظرا لأن اكتشاف هذه الأعداد يستوجب اكتشاف عددين أوليين متتالين ، فإننا نجد أن أكبر عددين توين أصغر بكثير من أكبر عدد أولي .



و أول أعداد من أعداد توين هي : ( 3 ، 5 ) ، ( 5 ، 7 ) ، ( 11 ، 13 ) ، ( 17 ، 19 ) .



و هذه قائمة بأكبر أعداد توين المعروفة لحد الآن :





لقد أثبتنا في السؤال الرابع أنه الأعداد الأولية غير منتهية و لكن استطاع العلماء وضع صيغة تقريبية لها ، و قد أشرت في الفصل الثاني إلى أن كلا من ليجاندر و جاوس أعطى صيغة تقريبية لعدد الأعداد الأولية الأقل من عدد ما .

Divergent : متباعد :

هي صفة لمتتالية لا نهائية ، أي ليس لها نهاية منتهية ، و هي صفة أيضا للمتسلسلة التي ليس لها مجموع منته فتولد بالتالي متتالية مجاميع جزئية غير متقاربة ، و عكس ذلك المتسلسلة أو المتتالية المتقاربة ( convergent ) .





divides : يقسم :

هي كقولنا أن 10 يقسم 50 بمعنى يوجد عدد أضربه في 10 يعطيني 50 ، و بالتالي نستطيع أن نستنتج بسهولة استحالة وجود عدد يقسم الواحد لأنه سوف لن أجد عدد ثالث أضربه في هذا العدد و يكون الناتج 1 أو أن الواحد تقسيم هذا العدد لا يعطي عددا صحيحا ) .





غربال إيراتوستين :



كلمة غربال تعني طريقة للتصفية أو التنقية ، و تنسب هذه الطريقة للعالم الإغريقي إيراتوستين حيث اكتشفها ، و هي أسهل الطرق المستخدمة في الكشف عن الأعداد الأولية و يستطيع الطالب في المرحلة الإبتدائية العليا أو الإعدادية استخدامها ، و تزيد صعوبتها كلما كبرت الأعداد حتى تصبح غير فعالة مع الأعداد الكبيرة ، لذا تكون فعالة في الأعداد الصغيرة جدا ( الأقل من 1000000) .



و تقول هذه الطريقة أنه لإيجاد جميع الأعداد الأولية الأصغر من n اكتب في قائمة جميع هذه الأعداد الأصغر من n ثم استبعد جميع مضاعفات الأعداد الأولية بحيث تبدأ من مضاعفات 2 ثم 3 ثم 5 ثم 7 و هكذا فالأعداد المتبقية هي الأعداد الأولية و الجدول التالي يوضح مثال لغربال إيراتوستين المستخدم في الأعداد الأقل من 100 :



و كيفية العمل في الجدول السابق هو بأن نبدأ بأول عدد و هو الواحد و يتم استبعاده مباشرة ، العدد الذي يليله هو 2 فيكون أول عدد أولي ثم نستبعد جميع مضاعفاته الموجودة بالجدول ، العدد التالي هو 3 فنختاره حيث أنه العدد الذي لم يحذف فيكون أول عدد أولي فردي ثم نحذف جميع مضاعفاته الغير محذوفة ، و نستمر بالمسير فنجد أن 4 محذوف أي إنه غير أولي ، و لكن الذي يليه و هو 5 غير محذوف فيكون العدد الأولي الثالث ثم نحذف جميع مضاعفاته الغير محذوفة ، و نستمر بهذه الطريقة بالنسبة للعدد 7 و 11 و هكذا حتى نكون قد استبعدنا جميع المضاعفات ليتبقى لدينا الأعداد الأولية الأقل من 100 ، و هي الأعداد الزرقاء في الجدول .

تستطيع أيضا استخدام الطريقة بالجافا ( انظر هنا )

اختبار ليكاس- لهمر :

لكل p عدد أولي فردي ، عدد ميرسين يكون أوليا إذا و فقط إذا كان يقسم s(p-1) حيث S(n+1)=S(n)²-2 و S(1)=4 .



لقد مرت هذه النظرية بعدة مراحل حتى وصل إلى هذه الصورة حيث كانت بدايتها مع مبرهنة فيرمات الصغيرة ، و الخطوة التالية مع أويلر عندما عمم مبرهنة فيرمات الصغيرة ، و الخطوة الهامة التالية مع لوكاس الذي وضع النظرية في أواخر 1870 ، و أخيرا مع لهمر الذي بسطها و جعلها في صورة اختبار بسيط في 1930 ، أما بالنسبة للمتتالية S(n) فهي تحسب باقي لحفظ الوقت ، و لن أحاول برهنة الإختبار هنا لحاجة البرهان إلى مقدمات كما أوضحت ، و لكن أشير إلى أنه بناءا على هذه النظرية يمكن استنتاج الإختبار التالي على شكل أكواد :

Lucas_Lehmer_Test(p):

S := 4;

For I from 3 to p do

s := s²-2 mod 2^p-1;
If s == 0 then



is prime

else

is composite



و هذا الإختبار يناسب الحواسيب الثنائية لأن القسمة على في النظام الثنائي تتم باستخدام الدوران و الإضافة .

modulo :

وظيفة رياضية تعطي باقي القسمة ، فمثلا : 8 mod 6 = 2 و تستخدم في الرياضيات الحديثة في دراسة قابلية القسمة فنكتب مثلا : 24 = 3 (mod 7) ، و ذلك يعني أن في حالة اعتبار المعيار هو 7 فإن 24 فيها ثلاث سبعات و الباقي 3 ، و هناك تفصيلات موسعة لهذه الوظيفة في الرياضيات المجردة .

Multiplicative : تعني ضربي :

يقال لدالة ما أنها ضربية إذا توزعت فوق الضرب ، مثال : f(n.m) = f(n).f(m) ، و المثال التالي يوضح ذلك :

لنفرض أن f(n) = n + 1 ، و f(m) = m - 2 ، و f(n.m) = n + m ، فإن : f(2) = 3 ، و f(4) = 2 ، و حيث أن : f(2.4) = 2+4 = 6 ، و f(2.4) = f(2).f(4) = 3.2 = 6 فإن الدالة f(n.m) دالة ضربية .

ما هو العدد التام ؟



تعريف : يسمى العدد الصحيح الموجب n عددا تاما إذا كان هذا العدد مساويا لمجموع كامل عوامله الموجبة بدون العدد نفسه .

مثال : 6 هو أول عدد تام حيث أن : 6 = 1 + 2 + 3

نظرية 1 : يقال للعدد n أنه تاما إذا و فقط إذا كان على الصورة 2^k-1(2^k-1) ، و 2^k-1 عدد أولي

( البرهان )

نفرض أولا أن p = 2^k-1 عددا أوليا ، و n = 2^k-1(2^k-1) . لإثبات أن العدد nتاما يجب أن نثبت أن : sigma(n)=2n . انظر الشرح أدناه .

Sigma(n) أو s(n)

هي وظيفة رياضية تعطي مجموع عوامل n الموجبة ، مثلا : s(6)= 1+2+3+6 = 12 .

و الجدول التالي يوضح أول قيم صغيرة للسيجما :

و لعلك من السهل أن تلاحظ أن : s(p)= p+1 كلما كان p عددا أوليا .

و دالة السيجما هي دالة ضريبة : انظر شرح ضريبة أدناه :

، و نشير هنا إلى نظرية مهمة تستخدم في حساب دالة السيجما s(n) و هي : إذا كان p عددا أوليا و n عدد صحيح موجب فإن : s(n) = (p^n-1)/p-1 ، مثال :

s(2000) = s(2⁴.5³) = s(2⁴).s(5³) = (2³-1)/(2-1).(5⁴-1)/(4-1) = 31.156 = 483



بما أن دالة السيجما ضربية (انظر ضريبة أدناه) ، و s(p) = p+1=2^k ، بالتالي نستطيع أن نعرف أن : s(n) = s(2^k-1). s(p) = (2^k-1)2^k = 2n ، و هذا يثبت أن n عدد تام .



و على الجانب الآخر ، لنفرض أن n عددا تاما زوجيا ، و ليكن n = 2^k-1.mn حيث m عدد فردي ، k ³ 2. و بما أن دالة السيجما ضربية ، إذن :

s(2^k-1.m) = s(2^k-1). s(m)=2^k-1). s(m) -------> (1)

، و بما أن n عددا تاما ، فإنه أيضا نعرف أن :

s(n)=2n = 2^k.m -------> (2)

من 1 ، 2 نستنتج أن :

2^k.m = (2^k-1). s(m) -------> (3)

أي إن 2^k-1 يقسم 2^k.m و من هنا 2^k-1 يقسم m ، أي إن : m = (2^k-1)M ، و بتعويض هذا الأخير في المعادلة (3) ، و بقسمة الطرفين على 2^k-1 نحصل على 2^k.M=s(m) .

بما أن كلا من m,M هما قواسم لـ m إذا من السهولة أن نعرف أن :

2^k.M=s(m)³ m+M = 2^k.M ، و بالتالي : s(m) = m+M .

و هذا يعني أن m عدد أولي له عاملان فقط و هما نفسه m و الواحد M ، و هكذا يكون :

m = 2^k-1 عددا أوليا .

نظرية 2 : إذا كان العدد 2ⁿ-1 أولي فإن n يكون أوليا أيضا .

( البرهان )

نفرض أن r , s عددان صحيحان موجبان ، بالتالي الحدودية x^rs-1 تساوي :

x^rs-1 = (x^s-1)(x^s(r-1) + x^s(r-2)+ ... + x^s + 1 ) ،

أي إنه إذا كانت n مركبة ( و لتكن تساوي r.s بحيث 1 < s £ n ) فإن 2ⁿ-1 تكون أيضا مركبة لأنها تقبل القسمة على 2^s-1 .

Sigma(n) أو s(n)

هي وظيفة رياضية تعطي مجموع عوامل n الموجبة ، مثلا : s(6)= 1+2+3+6 = 12 .

و الجدول التالي يوضح أول قيم صغيرة للسيجما :



و لعلك من السهل أن تلاحظ أن : s(p)= p+1 كلما كان p عددا أوليا .

و دالة السيجما هي دالة (انظر ضريبة أدناه)، و نشير هنا إلى نظرية مهمة تستخدم في حساب دالة السيجما s(n) و هي : إذا كان p عددا أوليا و n عدد صحيح موجب فإن : s(n) = (p^n-1)/p-1 ، مثال :

s(2000) = s(2⁴.5³) = s(2⁴).s(5³) = (2³-1)/(2-1).(5⁴-1)/(4-1) = 31.156 = 483



ثانيا : طريقة القسمة ( trial division ) :



تستخدم هذه الطريقة أيضا في الكشف عن الأعداد الأولية الصغيرة ، و هي أصعب من سابقتها ، و لكن باستطاعة طلاب المرحلة الثانوية إنجازها ، فلكي نفحص نعرف أن عددا ما n هل أولي ؟ فإننا نقسمه على جميع الأعداد الأولية الأقل من جذره التربيعي ، فعلى سبيل المثال لو أردنا أن نفحص أولية العدد 211 ، فإننا نحتاج لأن نقسمه على 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، فإذا لم يقبل القسمة على أي منها فيكون العدد 211 أوليا و إلا فلا . و لا حاجة لنجرب قسمته على عدد أول أكثر من 13 لأن جذره التربيعي أقل من 15 ، و هذا يعني أن علينا أن نتوقف عن القسمة عندما نصل إلى جذره التربيعي التقريبي .



في الحقيقة قد تصبح هذه الطريقة صعبة عندما تكبر الأعداد فليس من السهل أن تستخدم الطريقة هذه بحذافيرها مع العدد 100000001 على سبيل المثال ، على الرغم أن هذا العدد لا يعتبر من الأعداد الكبيرة ، فلو جئنا إلى هذا العدد و أردنا أن نطبق طريقة القسمة عليه لمعرفة هل هو أولي أم لا ، فيجب علينا أن نبدأ مع الرقم 2 و نكرر ذلك حتى نصل إلى أحد قواسمه أو نتوقف عند العدد الأولي الأقل من جذره التربيعي مباشرة ، و إذا عرفنا أن sqrt(100000001)@ 10000 و عدد الأعداد الأولية الأقل من 10000 حسب صيغة ليجاندر و هي : p(n)=n/(log(n)-1.08366) هي :

p(10000)=10000/(log(10000)-1.08366) @ 3428 ، أي أنه علينا أن نقسم على 3428 عدد أولي تقريبا ، و لا يخفى أن في هذا صعوبة من حيث الوقت و الجهد ، لذلك استخدم الرياضيون و ابتكروا مهارات مختلفة و أدخلوا التحليل الرياضي فيها ، و لكن الحاسب الآلي سهل أمر هذه القسمة حيث كتبت برامج و خورازميات عديدة تنفذ القسمة آليا ، و باعتقادي أن من لديه معرفة بسيطة ببرنامج الإكسل الذي تصدره شركة مايكروسوفت ضمن مجموعة الأوفيس يستطيع اكتشاف أولية هذا الرقم باستخدام القسمة شريطة أن تكون لديه قائمة بكل الأعداد الأولية الأقل من 10000 و عددها بالدقة 1229 عددا .

إذا كنت تريد معرفة الأعداد الأولية الأقل من 10000 ( انظر هنا )



منقوووووووول