تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا

تعريف (مقارنة التوبولوجي)




إذا كان لدينا توبولوجي على المجموعة فإننا نقول :
1) التوبولوجي أقوى من ( finer than, Stronger than ) إذا و فقط إذا .
2) التوبولوجي أضعف ( weaker than, coarser than ) إذا و فقط إذا .
و في الحالتين الأولى و الثانية نقول على أن التوبولوجي و قابلات للمقارنة ( Comparable ) .
3) التوبولوجي و غير قابلات للمقارنة ( Incomparable) إذا و فقط إذا و .
أمثلة :
كما بينا في فضاءات توبولوجية هامة بعض الأمثلة الهامة نجد ما يلي :
على اعتبار أن فنلاحظ أن :
1) جميع أنواع التوبولوجي تكون احتواء في ، أي أن أقوى أنواع التوبولوجي .
2) نلاحظ أن احتواء في جميع أنواع التوبولوجي الأخرى ، أي أن أضعف أنواع التوبولوجي .
3) نلاحظ أن .
4) و نلاحظ أن و .
5) و نلاحظ أيضاً و . أي أنهما غير قابلات للمقارنة .
ملاحظات عامة :
1) ليكن لدينا و ليكن لدينا :

نلاحظ أن كل من و توبولوجي على ، و لكن هل ؟
بالتأكيد لا ، و السبب يعود إلى .
اتحاد عدة أنواع توبولوجية على الفضاء ليس شرطاً أن يكون الناتج فضاء توبولوجي .
فكر : متى يكون حاصل اتحادهم فضاء توبولوجي ؟
2) إذا كان لدينا عائلة من التوبولوجي على المجموعة .
و بالتالي :
عبارة عن توبولوجي على .
الإثبات :
اعتمد على أن كل مجموعة مفتوحة في إذا و فقط إذا متممة المجموعة مغلقة ، و تحقق من الشروط بنفسك .
3) كما أشرنا سابقاً أن اتحاد عدد من المجموعات المفتوحة يجب أن يكون مجموعة مفتوحة ، و لكن هذا الأمر لا يتحقق في حالة التقاطع^[م] ، أي تقاطع عدد من المجموعات المفتوحة ليس شرطاً مجموعة مفتوحة .
و في حالة خاصة عند تقاطع عدود من المجموعات المفتوحة تسمى المجموعة .
و بالتالي التقاطع المحدود من المجموعات المفتوحة هو مجموعة و هو الشرط الثاني في شروط التوبولوجي على أي مجموعة .
و كذلك الأمر بالنسة للمجموعات المغلقة مع استبدال كلمة تقاطع باتحاد و العكس .
أي اتحاد مجموعات مغلقة ليس شرطاً أن يكون مجموعة مغلقة مالم يكن الإتحاد محدود ، و لكن تقاطع عدد من المجموعات المغلقة الناتج لا بد أن يكون مجموعة مغلقة .
و في حالة إن كان لدينا اتحاد قابل للعد منها تسمى المجموعة .
للمعلومات عن و انظر في مجموعات اف-سيجما جي-دلتا و ستجد معلومة لإستثمارها في بناء أمثلة كما ذكر هنا .
دعنا نناقش المثال الآتي لترسيخ فكرة المجموعة المغلقة و المفتوحة في فضاء توبولوجي معين :
ليكن لدينا ، نلاحظ ما يلي :
أ‌) : ليست مجموعة مفتوحة بسبب أنه لا يمكن إيجاد بيحث :
و أيضاً ليست مجموعة مغلقة بسبب :
ليست مجموعة مفتوحة لنفس السبب .
ب‌) : ليست مجموعة مفتوحة لنفس السبب السابق ، و لكنها مجموعة مغلقة بسبب :
مجموعة مفتوحة في .
ج) : ليست مجموعة مفتوحة ، بسبب أنه لا يمكن أتحوي على فترة ، و لكنها مجموعة مغلقة بالتأكيد لنفس الأسباب السابقة .
د) : مجموعة مفتوحة و ليست مجموعة مغلقة .
ه) : ليست مجموعة متفوحة بسبب لا يمكنها احتواء أي فترة تحوي الرقم .
و ليست مجموعة مغلقة بسبب أن متممتها ليست مجموعة مفتوحة .
بنفس الطريقة يمكن مناقشة المجموعات السابقة في الفضاءات التوبولوجية الأخرى .( متروك للقارىء) .
هنالك نظرية رائعة تبين إن كانت المجموعة مفتوحة أو لا و هي :
نظرية (*) :
ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي و لتكن ، فتكون المجموعة مجموعة مفتوحة إذا و فقط إذا لكل نقطة يوجد لدينا مجموعة مفتوحة بحيث .
الإثبات :
الإتجاه الأول واضح على اعتبار أن لكل النقاط .
الإتجاه الآخر :
لتكن و أنه يوجد لدينا مجموعة مفتوحة بحيث ، وبما ان التوبولوجي مغلق تحت أي اتحاد للمجموعات المفتوحة ، فإنه يمكن كتابة المجموعة بالشكل الآتي :

تااااااااااااااااااااااااااااابع




تعريف ( الكلوجر أو الإغلاق Closure )


ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي ، و لتكن ، فيكون الكلوجر Closure (إغلاق) للمجموعة أصغر مجموعة مغلقة تحوي المجموعة و يكتب الكلوجر للمجموعة بالرمز .
نستطيع صياغة التعريف بطريقة أخرى و هي :

و بالتالي نستنتج ما يلي :
1) .
2) إذا كانت مجموعة مغلقة ، فإن .
3) إذا كان لدينا فإن .
4) .
الإثبات :
فرع (1) و (2) و (3) واضح من خلال التعريف .
إثبات (4) :
بما أنه لدينا و ، فإن :



و لكن ، بسبب أن اتحاد محدود من مجموعات مغلقة يكون مجموعة مغلقة و بالتالي :

و الاتجاه الآخر :
بما أن و
ينتج المطلوب .
يطرح السؤال الآتي :
كيف يمكنني أن أقوم بعملية حساب الكلوجر لمجموعة محددة ؟
من خلال النظرية التي ستعرض حالياً سيصبح الأمر بسيطاً :
نظرية :
ليكن لدينا فضاء توبولوجي و لتكن و بالتالي :
إذا و فقط إذا لكل مجموعة مفتوحة يكون لدينا
الإثبات :
ليكن لدينا و لنفرض أنه يوجد لدينا مجموعة مفتوحة بحيث :

الآن افرض أن ، بما أن و هذا تناقض .
الإتجاه الآخر :
لنفرض أن و لنفرض أن .
و بالتالي مجموعة مفتوحة تحوي النقطة و لا تقطع المجموع و هذا تناقض .
يمكن اسثمار هذه النظرية في إيجاد الكلوجر للمجموعات عن طريق البحث للنقاط التي لأي مجموعة مفتوحة تحويها يجب أن تقطع المجموعة المراد حساب الإغلاق لها .
لندرس الأمثلة الآتية في عدة فضاءات مختلفة :
ليكن لدينا و لنفرض أن ، نريد إيجاد في كل من :
1) :
لندرس النقاط خارج المجموعة ، فنلاحظ حسب تعريف الفضاء التوبولوجي المعتاد أن أي فترة مفتوحة تحوي النقطة ، و بالتالي الصفر ينتمي لمجموعة الإغلاق ، و كذلك الأمر بالنسبة للنقطة .
و بالنسبة لجميع النقاط الأخرى ، يمكن إيجاد فترة بقياس صغير بحيث لا تقطع المجموعة .
و بالتالي .
2) :
لاحظ أي شعاع أيسر مفتوح يحوي النقطة لا بد أن يقطع المجموعة ، بل كل النقاط التي تكون أكبر من لأي شعاع أيسر لا بد أن يقطعها . و بالتالي جميعها في الكلوجر .
أما بالنسبة للنقاط التي تكون قبل الصفر ،يمكن اختيار شعاع أيسر لا يقطع و بالتالي .
3) :
بنفس الطريقة السابقة نجد .
4) :
لاحظ أن كل نقطة على خط الأعداد لا يمكن أن يكون لها مجموعة مفتوحة بحيث متممتها مجموعة محدودة دون ان تقطع المجموعة .و نفس الشيء للتوبولوجي .
5) :
لا يوجد مجموعة مفتوحة تحوي نقاط المجموعة غير .
و بالتالي .
6) :
نلاحظ أن كل نقطة عبارة عن مجموعة مفتوحة في التوبولوجي المتقطع أي أن .
نلاحظ من الأمثلة السابقة ما يلي :
أ‌) أن كل مجموعة في تكون مغلقة إذا و فقط إذا كانت محدودة .
و السبب بشكل بسيط كل نقطة خارج يكون لدينا مجموعة مفتوحة تحوي النقطة ولا تقطع .
ب‌) عناصر التوبولوجي هي مجموعات كلوبن ( مغلقة و مفتوحة بنفس الوقت ) بل نستنتج ما يلي :
التوبولوجي إذا و فقط إذا لكل نقطة يكون لدينا المجموعة .
الإتجاه الأول واضح .
الآن لدينا .
يبقى إثبات لكل مجموعة هي مجموعة في .
و لكن لدينا هي مجموعة مفتوحة في حسب المعطى .
و بالتالي .
و منها نصل إلى أن .
ج) من خلال طريقة حساب الكلوجر للمجموعات نستنتج أن :

ليست دائماً صحيحة ، خذ مثلاً المجموعتين كلاهما مجموعتين مفتوحتين في التوبولوجي المعتاد و لكن لا يحقق المقولة السابقة .
و لكن دائماً لدينا :

.

تااااااااااااااااااااابع





تعريف ( النقط الصماء Cluster points )


ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي ، و لتكن ، فإننا نقول عن النقطة عبارة عن نقطة صماء للمجموعة إذا وفقط إذا لكل مجموعة مفتوحة تحوي النقطة فإن :



أي أن المجموعة تقطع المجموعة دون النقطة .
يرمز لمجموعة النقاط الصماء للمجموعة بالرمز و تسمى Derived set ،و نسمي النقطة الصماء باسم Cluster point ، Accumlation point ، Llimit point.
و بنفس الطريقة التي قمنا حساب الكلوجر للمجموعة ، نستطيع من خلال هذه النظرية نستطيع أن نحسب النقط الصماء للمجموعة ، لندرس الأمثلة الآتية :
ليكن لدينا و لنفرض أن ، نريد إيجاد في كل من :
1) :
لندرس النقاط خارج المجموعة ، فنلاحظ حسب تعريف الفضاء التوبولوجي المعتاد أن أي فترة مفتوحة تحوي النقطة ، و بالتالي الصفر ينتمي لمجموعة الإغلاق ، و كذلك الأمر بالنسبة للنقطة .
و بالنسبة لجميع النقاط الأخرى ، يمكن إيجاد فترة بقياس صغير بحيث لا تقطع المجموعة مع إزالة النقطة منها .
و بالتالي .
2) :
لاحظ أي شعاع أيسر مفتوح يحوي النقطة لا بد أن يقطع المجموعة ، بل كل النقاط التي تكون أكبر من لأي شعاع أيسر لا بد أن يقطعها مع إزالة النقطة منها . و بالتالي جميعها في .
أما بالنسبة للنقاط التي تكون قبل الصفر ،يمكن اختيار شعاع أيسر لا يقطع مع إزالة النقطة منها.
و بالتالي .
• ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي المعتاد على ، و لتكن لدينا المجموعتين و المجموعة .
جد ما يلي :
1) :
لاحظ تماماً أن كل نقطة في المجموعة لا بد أي فترة مفتوحة تحوي تلك النقطة يجب أن تقطع المجموعة ، و لاحظ أيضاً أن لاي فترة مفتوحة تحويه لا بد أن تقطع المجموعة .
و بالتالي : .
2) :
لاحظ لكل فترة مفتوحة تحوي أي نقطة من ، فإنه يمكن اختيار بشكل صغير بحيث لا يقطع المجموعة مع إزالة النقطة منها .
إلا أن ، لا بد لأي فترة تحويه أن تقطع المجموعة بدونه .
و بالتالي .
3) استنتج بنفسك أن .
تعريف ( نقطة إنعزال Isolated Point )


ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي ، و لتكن ، فإننا نقول عن النقطة عبارة عن نقطة إنعزال للمجموعة إذا وفقط إذا كان يوجد مجموعة مفتوحة تحوي النقطة و كان :

نرمز لمجموعة نقاط الإنعزال للمجموعة بالرمز .
لتوضيح المفهوم :
في الفضاء التوبولوجي نلاحظ أن نقاط الإنعزال للمجموعة هي نفسها ، و بالمقابل نجد ان نقاط الصماء لها هي المجموعة .
لو أخذنا مثلاً المجموعة ، فنلاحظ أنه لا يمكن أن نجد فترة واحد تحوي أي نقطة بحيث تكون حاصل تقاطعها مع هي النقطة فقط .
وبالتالي و لكن .
تعريف ( داخلية المجموعة Interior of Set )


ليكن لدينا فضاء توبولوجي ، و لتكن .
نقول عن النقطة هي نقطة داخلية للمجموعة إذا وفقط إذا كان يوجد لدينا مجموعة مفتوحة تحوي النقطة و يكون لدينا :

نرمز لمجموعة النقاط الداخلية للمجموعة بالرمز أو بالرمز .
لنوضح المفهوم بمثال بسيط :
ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي ، و لتكن ، فنلاحظ لو تم أخذ أي نقطة داخل ، فإن أي شعاع أيسر (شكل المجموعة المفتوحة) يحوي النقطة، لا يمكن و بأي شكل من الأشكال ان يكون احتواء في المجموعة .
و بالتالي .
إذن نلاحظ لا يعني داخلية المجموعة هي النقاط التي بداخله ، و إنما النقاط التي إذا حوطت بمجموعة مفتوحة تبقى احتواء داخل نفس المجموعة .
ملاحظات :
1) نلاحظ من نظرية (*) أن هي مجموعة مفتوحة .
الإثبات بسيط بالإعتماد على تعريف داخلية المجموعة .
2) داخلية المجموعة هي أكبر مجموعة مفتوحة إحتواء في المجموعة ، على عكس تعريف كلوجر للمجموعة بأنها أصغر مجموعة مغلقة تحوي المجموعة .
3) تكون المجموعة مجموعة مفتوحة إذا و فقط إذا .
الإثبات لها أيضاً واضح من خلال تعريف داخلية المجموعة .
4) داخلية المجموعة هي عبارة عن :

تعريف ( خارجية المجموعة Exterior of Set )



ليكن لدينا فضاء توبولوجي ، و لتكن .
نقول عن النقطة هي نقطة خارجية للمجموعة إذا وفقط إذا كان يوجد لدينا مجموعة مفتوحة تحوي النقطة و يكون لدينا :

نرمز لمجموعة النقاط الخارجية للمجموعة بالرمز .
ما ينطبق على طرق حساب داخلية المجموعة ينطبق على خارجية المجموعة ، و لكن بتديل المجموعة بــ .
و طريقة حساب خارجية المجموعة هي نفس أسلوب حساب داخلية المجموعة .
فمثلاً :
ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي و لتكن لدينا المجموعة ، فإن خارجية المجموعة هي ، بسبب أنه لا يمكن أن يكون لدينا مجموعة مفتوحة تحوي أي نقطة و تكون احتواء في المتممة .
تعريف ( حدود المجموعة Boundary of set )


ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي و لتكن المجموعة فإننا نقول أن النقطة هي عبارة عن نقطة تقع على حدود المجموعة إذا و فقط إذا لكل مجموعة مفتوحة تحوي النقطة يكون لدينا :

و نرمز لمجموعة النقاط التي تقع على حدود المجموعة بالرمز .
لندرس الأمثلة الآتية :
ليكن لدينا .
1) في الفضاء التوبولوجي سنجد أن :

2) و في الفضاء التوبولوجي المعتاد ، سنجد أن .
و السبب يعود لشكل المجموعات المفتوحة في كل توبولوجي

تاااااااااااااااابع



تعريف ( المجموعة الكثيفة Dense Set )


ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي ، و ليكن لدينا ، فإننا نقول عن المجموعة مجموعة كثيفة في الفضاء التوبولوجي إذا و فقط إذا كان لدينا .
لاحظ أنه يترجم التعريف السابق إلى ما يأتي :
لكل ولكل مجموعة مفتوحة تحوي فإنه لدينا :

أي يجب كل المجموعات المفتوحة تقطع .
مثال :
لاحظ في الفضاء التوبولوجي المعتاد أن مجموعة الأعداد النسبية و الغير نسبية كثيفة . و السبب يعود أن كل مجموعة مفتوحة لا بد تقطعهما ، بل لو قمنا بحساب الكلوجر لهما لوجدناه أن يعطي .
تعريف ( المجموعة المتناثرة Nowhere Dense Set )



ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي ، و ليكن لدينا ، فإننا نقول عن المجموعة مجموعة متناثرة في الفضاء التوبولوجي إذا و فقط إذا كان لدينا .
لندرس المثال الآتي لتوضيح المفهوم :
في الفضاء التوبولوجي المعتاد ، ليكن لدينا ، و بالتالي :

أي أن مجموعة متناثرة .
تعريف ( المجموعة التامة Perfect Set )



ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي ، و لتكن ، نقول عن المجموعة بأنها مجموعة تامة إذا و فقط إذا .
نظرية :
في أي فضاء توبولوجي ، و لأي مجموعة ، فإن :
مجموعة تامة إذا و فقط إذ اكان و .
الإثبات :
الإتجاه الأول :
إذا كانت مجموعة تامة ، فإن ، و بالتالي حسب تعريف المجموعة التامة ينتج لدينا .
جميع النقاط التي في إن كانت داخل فهي نقاط صماء ، و إن كانت خارج فلا يمكن أن تكون نقاط إنعزال و بالتالي :

الأتجاه العكسي :
إن كانت مجموعة مغلقة و حسب ، يكون لدينا .
الآن حسب حقائق و نظريات في الأسفل ، ينتج لدينا أن :
و بالتالي من حقيقة (3) و أخذ تقاطع للطرفين ، ينتج لدينا :

و من حقيقة (2) و تعويض مما نتج سابقاً ، ينتج لدينا :

حقائق و نظريات



لنرى بعض الحقائق الهامة عما سبق ذكره من التعاريف الهامة :
ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي و لتكن و بالتالي :
1) المجموعة ، يكون حاصل اتحاد عناصرها المجموعة و تقاطع أي اثنين من عناصر ، أي أنها تشكل Weak Partition .
2) المجموعة ، يكون حاصل اتحاد عناصرها المجموعة و تقاطع أي اثنين من عناصر، أي أنها تشكل Weak Partition .
3) .
4) ( أي أنها تغلق في داخلها جميع النقط الصماء لها ).
5) .
6) .
7) .
.
9)
10).
حيث يمكن إثبات كل حقيقة من الحقائق ببضعة أسطر بسيطة ،و هنالك الكثير من الحقائق الرائعة و الجميلة ، و لكن هذه الحقائق تستخدم أكثر من غيرها.( متروك للقارىء ).
نظرية (1) :
ليكن لدينا و ليكن فيكون لدينا ما يلي :
أ‌) المجموعة مجموعة مفتوحة إذا و فقط إذا كان .
ب‌) المجموعة مجموعة مغلقة إذا و فقط إذا كان .
ج) تكون المجموعة كلوبن إذا و فقط إذا كان .
الإثبات (أ) :
الأتجاه الأول :
لنفرض بالتناقض أن و بالتالي هنالك نقطة و .
و بما أن مجموعة مفتوحة و و بالتالي النقطة غير موجودة في و هذا تناقض .
الإتجاه الآخر :
بما أن بأخذ تقاطع من الجهتين ، ينتج لدينا :

و لا يمكن أن تتحقق إلا إن كانت أي أن مجموعة مفتوحة .
الإثبات (ب) :
يمكن السير بنفس خطوات الإثبات في (أ) ينتج لدينا التكافىء ( متروك للقارىء) .
الإثبات (ج) :
بما أن ، فإن كانت فإن الإتجاه العكسي ينتج مباشرة في التعويض في المساواة.
و كذلك الأمر بالنسبة للإتجاه الاول ينتج مباشرة بالتعويض بإستثمار لأنها مجموعة كلوبن .
نظرية (2) :
في أي فضاء توبولوجي و لأي مجموعة ، فإن الجمل الآتية متكافئة :
1) المجموعة مجموعة كثيفة .
2) إذا كانت المجموعة مجموعة مغلقة و كانت فإن .
3) لأي مجموعة مفتوحة لدينا .
4) .
الإثبات :
يمكن السير بالإثبات بأي طريقة كانت و لكن لنسير بشكل دائري :
(1) إلى (2) :
بما أن ، فيجب ، و لكن المجموعة مجموعة مغلقة أي .
(2) إلى (3) :
ليكن لدينا مجموعة مفتوحة بحيث ، و بالتالي :
مجموعة مغلقة و لا تساوي و أيضاً ، و لكن من فرع (2) يجب أن يكون لدينا و هذا تناقض .
(3) إلى (4) :
ليكن لدينا ، و بالتالي يوجد لدينا مجموعة مفتوحة بحيث :

و بالتالي و هذا يناقض (3) .
(4) إلى (1) :
نريد إثبات .
بما أن ، ما تبقى إثبات الإتجاه الآخر .
ليكن لدينا ، فإن كانت فإنه ينتج الطرف الآخر بشكل مباشر.
نريد إثبات إن كانت فيجب أن تكون في .
لنفرض أنها ليست في ، و بالتالي يوجد لدينا مجموع مفتوحة بحيث :

و بالتالي ينتج لدينا .
و لكن الجملة الآخيرة تترجم إلى أن و هذا تناقض مع (4) .
نظرية (3) :
ليكن لدينا فضاء توبولوجي ، و لتكن لدينا عائلة من المجموعات الجزئية من ، و بالتالي :
أ)
ب)
الإثبات :
كل من فرع (أ) و (ب) بسيط في استخدام حقائق بسيطة للمجموعات .
تمارين :
ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي و لنعرف بالشكل الآتي :

لنعتبر :
جد كل مما يلي :
1) .
2) .
3) تحقق من جميع الحقائق الواردة في هذه الصفحة على إجابتك لفرع (1) و (2) .
4) قارن هذا التوبولوجي مع أنواع التوبولوجي الهامة ( إن كان يقبل المقارنة ).
5)هات مجموعتين في الفضاء التوبولوجي السابق بحيث .
6) أثبت أن و هل .

المرجع :


General Topology , Paul Long

منقول من شبكة الرياضيات رمزاً

السلام عليكم و رحمة الله و بركاته
موضوع كافي ووافي عن الطبولوجيا
شكرا على المجهود الرائع