تعريف (مقارنة التوبولوجي)
إذا كان لدينا
توبولوجي على المجموعة
فإننا نقول :
1) التوبولوجي
أقوى من ( finer than, Stronger than )
إذا و فقط إذا
.
2) التوبولوجي
أضعف ( weaker than, coarser than )
إذا و فقط إذا
.
و في الحالتين الأولى و الثانية نقول على أن التوبولوجي
و
قابلات للمقارنة ( Comparable ) .
3) التوبولوجي
و
غير قابلات للمقارنة ( Incomparable) إذا و فقط إذا
و
.
أمثلة :
كما بينا في فضاءات توبولوجية هامة بعض الأمثلة الهامة نجد ما يلي :
على اعتبار أن
فنلاحظ أن :
1) جميع أنواع التوبولوجي تكون احتواء في
، أي أن
أقوى أنواع التوبولوجي .
2) نلاحظ أن
احتواء في جميع أنواع التوبولوجي الأخرى ، أي أن
أضعف أنواع التوبولوجي .
3) نلاحظ أن
.
4) و نلاحظ أن
و
.
5) و نلاحظ أيضاً
و
. أي أنهما غير قابلات للمقارنة .
ملاحظات عامة :
1) ليكن لدينا
و ليكن لدينا :![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 0c3ed609e0203c445695a72ede5dec54](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/0c3ed609e0203c445695a72ede5dec54.png)
نلاحظ أن كل من
و
توبولوجي على
، و لكن هل
؟
بالتأكيد لا ، و السبب يعود إلى
.
اتحاد عدة أنواع توبولوجية على الفضاء
ليس شرطاً أن يكون الناتج فضاء توبولوجي .
فكر : متى يكون حاصل اتحادهم فضاء توبولوجي ؟
2) إذا كان لدينا
عائلة من التوبولوجي على المجموعة
.
و بالتالي :![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 960201e3c6a3723ecfbfc8a4b4faecaa](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/960201e3c6a3723ecfbfc8a4b4faecaa.png)
عبارة عن توبولوجي على
.
الإثبات :
اعتمد على أن كل مجموعة مفتوحة في
إذا و فقط إذا متممة المجموعة مغلقة ، و تحقق من الشروط بنفسك .
3) كما أشرنا سابقاً أن اتحاد عدد من المجموعات المفتوحة يجب أن يكون مجموعة مفتوحة ، و لكن هذا الأمر لا يتحقق في حالة التقاطع[م] ، أي تقاطع عدد من المجموعات المفتوحة ليس شرطاً مجموعة مفتوحة .
و في حالة خاصة عند تقاطع عدود من المجموعات المفتوحة تسمى المجموعة
.
و بالتالي التقاطع المحدود من المجموعات المفتوحة هو مجموعة و هو الشرط الثاني في شروط التوبولوجي على أي مجموعة .
و كذلك الأمر بالنسة للمجموعات المغلقة مع استبدال كلمة تقاطع باتحاد و العكس .
أي اتحاد مجموعات مغلقة ليس شرطاً أن يكون مجموعة مغلقة مالم يكن الإتحاد محدود ، و لكن تقاطع عدد من المجموعات المغلقة الناتج لا بد أن يكون مجموعة مغلقة .
و في حالة إن كان لدينا اتحاد قابل للعد منها تسمى المجموعة
.
للمعلومات عن
و
انظر في مجموعات اف-سيجما جي-دلتا و ستجد معلومة لإستثمارها في بناء أمثلة كما ذكر هنا .
دعنا نناقش المثال الآتي لترسيخ فكرة المجموعة المغلقة و المفتوحة في فضاء توبولوجي معين :
ليكن لدينا
، نلاحظ ما يلي :
أ)
: ليست مجموعة مفتوحة بسبب أنه لا يمكن إيجاد
بيحث :![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 5b47299e37fff95d200105203fb15fb3](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/5b47299e37fff95d200105203fb15fb3.png)
و أيضاً
ليست مجموعة مغلقة بسبب :![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا E39ee4dac6eb3f4df6543f7e54e89eec](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/e39ee4dac6eb3f4df6543f7e54e89eec.png)
ليست مجموعة مفتوحة لنفس السبب .
ب)
: ليست مجموعة مفتوحة لنفس السبب السابق ، و لكنها مجموعة مغلقة بسبب :![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا B5c9f05b12f95bca3ea0fd03071f10c0](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/b5c9f05b12f95bca3ea0fd03071f10c0.png)
مجموعة مفتوحة في
.
ج)
: ليست مجموعة مفتوحة ، بسبب أنه لا يمكن أتحوي على فترة ، و لكنها مجموعة مغلقة بالتأكيد لنفس الأسباب السابقة .
د)
: مجموعة مفتوحة و ليست مجموعة مغلقة .
ه)
: ليست مجموعة متفوحة بسبب لا يمكنها احتواء أي فترة تحوي الرقم
.
و ليست مجموعة مغلقة بسبب أن متممتها ليست مجموعة مفتوحة .
بنفس الطريقة يمكن مناقشة المجموعات السابقة في الفضاءات التوبولوجية الأخرى .( متروك للقارىء) .
هنالك نظرية رائعة تبين إن كانت المجموعة مفتوحة أو لا و هي :
نظرية (*) :
ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي
و لتكن
، فتكون المجموعة
مجموعة مفتوحة إذا و فقط إذا لكل نقطة
يوجد لدينا مجموعة مفتوحة
بحيث
.
الإثبات :
الإتجاه الأول واضح على اعتبار أن
لكل النقاط .
الإتجاه الآخر :
لتكن
و أنه يوجد لدينا
مجموعة مفتوحة بحيث
، وبما ان التوبولوجي مغلق تحت أي اتحاد للمجموعات المفتوحة ، فإنه يمكن كتابة المجموعة
بالشكل الآتي :![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 1afeebb40e227a874bb38261e3c619b4](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/1afeebb40e227a874bb38261e3c619b4.png)
إذا كان لدينا
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 74d642f565946afe9d78e2246adc5f73](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/74d642f565946afe9d78e2246adc5f73.png)
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 14da60f63d62c66870a4e1668f3e1475](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/14da60f63d62c66870a4e1668f3e1475.png)
1) التوبولوجي
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 9f574c91198cf048527d58e6644554dc](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/9f574c91198cf048527d58e6644554dc.png)
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 04da236cfd5d0ca7ece4244ed0284f69](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/04da236cfd5d0ca7ece4244ed0284f69.png)
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 7756565e53fb1af0443bce4b1d2d70d0](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/7756565e53fb1af0443bce4b1d2d70d0.png)
2) التوبولوجي
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 9f574c91198cf048527d58e6644554dc](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/9f574c91198cf048527d58e6644554dc.png)
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 04da236cfd5d0ca7ece4244ed0284f69](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/04da236cfd5d0ca7ece4244ed0284f69.png)
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 2fb857aecc9d7c4cfcdb9748f1ffd322](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/2fb857aecc9d7c4cfcdb9748f1ffd322.png)
و في الحالتين الأولى و الثانية نقول على أن التوبولوجي
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 9f574c91198cf048527d58e6644554dc](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/9f574c91198cf048527d58e6644554dc.png)
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 04da236cfd5d0ca7ece4244ed0284f69](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/04da236cfd5d0ca7ece4244ed0284f69.png)
3) التوبولوجي
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 9f574c91198cf048527d58e6644554dc](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/9f574c91198cf048527d58e6644554dc.png)
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 04da236cfd5d0ca7ece4244ed0284f69](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/04da236cfd5d0ca7ece4244ed0284f69.png)
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 8a35dc11b1b2a14c4fb4d0bdf7473bc5](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/8a35dc11b1b2a14c4fb4d0bdf7473bc5.png)
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا E1d4b316803adab505c7e8ac6ec91617](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/e1d4b316803adab505c7e8ac6ec91617.png)
أمثلة :
كما بينا في فضاءات توبولوجية هامة بعض الأمثلة الهامة نجد ما يلي :
على اعتبار أن
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 1facf23317038d607a9d765881c4d339](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/1facf23317038d607a9d765881c4d339.png)
1) جميع أنواع التوبولوجي تكون احتواء في
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا F7909fa203bfa033f45b418832f78076](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/f7909fa203bfa033f45b418832f78076.png)
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا F7909fa203bfa033f45b418832f78076](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/f7909fa203bfa033f45b418832f78076.png)
2) نلاحظ أن
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا B7464f815b18d1ffce3c6bf78d014a6c](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/b7464f815b18d1ffce3c6bf78d014a6c.png)
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 83c8d536c5664601822fa5c1887567f0](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/83c8d536c5664601822fa5c1887567f0.png)
3) نلاحظ أن
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا Cc6712f39058987107ae42d183300a59](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/cc6712f39058987107ae42d183300a59.png)
4) و نلاحظ أن
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا Ce2b2dfdd78c7428b46730b21f55371e](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/ce2b2dfdd78c7428b46730b21f55371e.png)
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 313258380acf3166820baf60a08ea1fc](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/313258380acf3166820baf60a08ea1fc.png)
5) و نلاحظ أيضاً
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 9f1ff995ef7cf40ef2335613acc1a099](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/9f1ff995ef7cf40ef2335613acc1a099.png)
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 2767279baa3ed33487b46ff18795d38d](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/2767279baa3ed33487b46ff18795d38d.png)
ملاحظات عامة :
1) ليكن لدينا
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا C7a17ff05c823b21eee9dda0ccecd7ec](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/c7a17ff05c823b21eee9dda0ccecd7ec.png)
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 0c3ed609e0203c445695a72ede5dec54](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/0c3ed609e0203c445695a72ede5dec54.png)
نلاحظ أن كل من
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 0c6a2aab63c3014e932b24e1c48287ae](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/0c6a2aab63c3014e932b24e1c48287ae.png)
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 04da236cfd5d0ca7ece4244ed0284f69](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/04da236cfd5d0ca7ece4244ed0284f69.png)
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 6dd47a2d27e92f95a6c2f77899ff61af](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/6dd47a2d27e92f95a6c2f77899ff61af.png)
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 818d252ee9733e115f5cf4ecbd659a6a](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/818d252ee9733e115f5cf4ecbd659a6a.png)
بالتأكيد لا ، و السبب يعود إلى
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا A3ea198f5a2e37b34df84887f989e4fe](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/a3ea198f5a2e37b34df84887f989e4fe.png)
اتحاد عدة أنواع توبولوجية على الفضاء
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 02129bb861061d1a052c592e2dc6b383](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png)
فكر : متى يكون حاصل اتحادهم فضاء توبولوجي ؟
2) إذا كان لدينا
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 634f86c2122200de71791738e898fc9d](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/634f86c2122200de71791738e898fc9d.png)
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 02129bb861061d1a052c592e2dc6b383](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png)
و بالتالي :
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 960201e3c6a3723ecfbfc8a4b4faecaa](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/960201e3c6a3723ecfbfc8a4b4faecaa.png)
عبارة عن توبولوجي على
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 02129bb861061d1a052c592e2dc6b383](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png)
الإثبات :
اعتمد على أن كل مجموعة مفتوحة في
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 81a69207104f00baaabd6f84cafd15a0](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/81a69207104f00baaabd6f84cafd15a0.png)
3) كما أشرنا سابقاً أن اتحاد عدد من المجموعات المفتوحة يجب أن يكون مجموعة مفتوحة ، و لكن هذا الأمر لا يتحقق في حالة التقاطع[م] ، أي تقاطع عدد من المجموعات المفتوحة ليس شرطاً مجموعة مفتوحة .
و في حالة خاصة عند تقاطع عدود من المجموعات المفتوحة تسمى المجموعة
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 4a3e6013caf7ecb48d14e3574c26b635](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/4a3e6013caf7ecb48d14e3574c26b635.png)
و بالتالي التقاطع المحدود من المجموعات المفتوحة هو مجموعة و هو الشرط الثاني في شروط التوبولوجي على أي مجموعة .
و كذلك الأمر بالنسة للمجموعات المغلقة مع استبدال كلمة تقاطع باتحاد و العكس .
أي اتحاد مجموعات مغلقة ليس شرطاً أن يكون مجموعة مغلقة مالم يكن الإتحاد محدود ، و لكن تقاطع عدد من المجموعات المغلقة الناتج لا بد أن يكون مجموعة مغلقة .
و في حالة إن كان لدينا اتحاد قابل للعد منها تسمى المجموعة
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا C5318cca379565bb17db8005366f2695](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/c5318cca379565bb17db8005366f2695.png)
للمعلومات عن
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا C5318cca379565bb17db8005366f2695](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/c5318cca379565bb17db8005366f2695.png)
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 4a3e6013caf7ecb48d14e3574c26b635](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/4a3e6013caf7ecb48d14e3574c26b635.png)
دعنا نناقش المثال الآتي لترسيخ فكرة المجموعة المغلقة و المفتوحة في فضاء توبولوجي معين :
ليكن لدينا
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا B6c7c37522eaece71f215da3df56316c](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/b6c7c37522eaece71f215da3df56316c.png)
أ)
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 668c7b55a37300c330dcd565d9e076da](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/668c7b55a37300c330dcd565d9e076da.png)
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 2d05e1f15387f87456155cd96cc06235](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/2d05e1f15387f87456155cd96cc06235.png)
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 5b47299e37fff95d200105203fb15fb3](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/5b47299e37fff95d200105203fb15fb3.png)
و أيضاً
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 668c7b55a37300c330dcd565d9e076da](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/668c7b55a37300c330dcd565d9e076da.png)
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا E39ee4dac6eb3f4df6543f7e54e89eec](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/e39ee4dac6eb3f4df6543f7e54e89eec.png)
ليست مجموعة مفتوحة لنفس السبب .
ب)
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا Ccfcd347d0bf65dc77afe01a3306a96b](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/ccfcd347d0bf65dc77afe01a3306a96b.png)
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا B5c9f05b12f95bca3ea0fd03071f10c0](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/b5c9f05b12f95bca3ea0fd03071f10c0.png)
مجموعة مفتوحة في
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 0bd2e9c07987a33153b1cb87ff672f72](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/0bd2e9c07987a33153b1cb87ff672f72.png)
ج)
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 3dce34c0cd034700cdefa856d103817b](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/3dce34c0cd034700cdefa856d103817b.png)
د)
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا B6dbc33006b907f2db1855810abfce98](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/b6dbc33006b907f2db1855810abfce98.png)
ه)
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 9166c79aedd0f98823c21ea8ddeab1bc](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/9166c79aedd0f98823c21ea8ddeab1bc.png)
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا Cfecdb276f634854f3ef915e2e980c31](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/cfecdb276f634854f3ef915e2e980c31.png)
و ليست مجموعة مغلقة بسبب أن متممتها ليست مجموعة مفتوحة .
بنفس الطريقة يمكن مناقشة المجموعات السابقة في الفضاءات التوبولوجية الأخرى .( متروك للقارىء) .
هنالك نظرية رائعة تبين إن كانت المجموعة مفتوحة أو لا و هي :
نظرية (*) :
ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 3e63bf1a38d519df6a47a0453c356d48](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/3e63bf1a38d519df6a47a0453c356d48.png)
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 8498c90143b8c1af095dac12cd5d9b08](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/8498c90143b8c1af095dac12cd5d9b08.png)
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 4a1f10599d93d68b762e897cc09870a1](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/4a1f10599d93d68b762e897cc09870a1.png)
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 3f40607b52a39a8780fe9d2953ecd1dc](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/3f40607b52a39a8780fe9d2953ecd1dc.png)
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 4c614360da93c0a041b22e537de151eb](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/4c614360da93c0a041b22e537de151eb.png)
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 87958fd06fd2270767381046e3ddaf26](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/87958fd06fd2270767381046e3ddaf26.png)
الإثبات :
الإتجاه الأول واضح على اعتبار أن
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 257aed27186ec163e89919c34eb778b5](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/257aed27186ec163e89919c34eb778b5.png)
الإتجاه الآخر :
لتكن
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 3380195a8703c35a0552323381e606ef](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/3380195a8703c35a0552323381e606ef.png)
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا D76673f8f8b53b3beca39ca49ecd0439](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/d76673f8f8b53b3beca39ca49ecd0439.png)
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 07d64669a5eb508cd62293e8eef4178c](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/07d64669a5eb508cd62293e8eef4178c.png)
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png)
![تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا 1afeebb40e227a874bb38261e3c619b4](https://2img.net/h/www.mathramz.com/math/files/tex/1afeebb40e227a874bb38261e3c619b4.png)