الرياضيات
في حياتنا
بسم الله الرحمن الرحيم
المقدمة
تعد طبيعة الرياضيات أحد المؤثرات على مكونات المنهج من أهداف ومحتويات وطرق تدريس
ووسائل وأنشطة تعليمية وتقويم ويندر وجود كتابات حديثة تتعلق بتطوير مناهج
الرياضيات وطرق تدريسها دون أن تعترض لطبيعة الرياضيات وتأثيرها في هذا المجال لذلك
سوف نتناول طبيعة الرياضيات من خلال الرياضيات كعلم ، الرياضيات كمادة دراسية ثم
سننتقل إلى بنذه عن المجموعات والتحويلات الهندسية وتطبيقاتها في مجالات الحياة
المتعددة هذا ونتمنى من الله التوفيق.
فهرس المحتويات
• الرياضيات كمعلم .
• الرياضيات كمادة دراسية
• المجموعات في الرياضيات والتطبيقات عليها.
• الرياضيات والتحويلات الهندسية.
• مفاهيم رياضية.
يسرنا أن نقدم بين أيديكم إصدارنا الأول من مجلة رياضية بعنوان وقفة مع الرياضيات
ونتمنى أن تنال إعجابكم وإعجاب القراء الأعزاء نسأل الله التوفيق وهو القادر على
ذلك.
الرياضيات كعلم
عرف الرياضيات قديما بأنه " علم المقدار المتصل والمنفصل " أو هو علم " الكم" وعلى
تلك كان ينظر إلى الحساب والجبر على أنهما يتناولان دراسة الأعداد والعمليات عليها
، وإلى الهندسة على أنها مختصة بدارسة النفط والخطوط والأسطح والأحجام والعلاقات
بينها وهنا مما يدل على أنها جميعا تتعلق بالمقدار المتصل والمنفصل والكم المنفصل
كما في الأعداد وهي موضع اهتمام الحساب أو كما في حروف الهجاء التي تستخدم الرموز
في التعبير عن كم غير محدود وهو موضع اهتمام علم الجبر ، أما الكم المتصل فهو ما
يتعلق بالمكان والزمان أو تتعلق بمعنى الحركة بأشكالها المختلفة وهو الأقلية ونظرية
المجموعات المجردة وجبر المنطق أصبح من الواضح عدم وجود علاقة جوهرية بين الرياضيات
والكم .
وعرف أيضا علم الرياضيات بأنه أحد المجالات المتميزة فهو علم تجريدي من خلق وإبداع
العقل البشري تهم من ضمن ما تهم به الأفكار والطرائق وأنما التفكير.
الرياضيات كمادة دراسية :-
الرياضيات كعلم المجال معرفي ، له فلسفته وطبيعته الخاصة والرياضيات كمادة دراسية
تقدم للطلاب في مستويات الدراسة المختلفة يمكن التمييز بينهما بصورة ملموسة عندما
تقارن بين مناشط واهتمامات " الرياضي"
حيث يتبع أساليب بحثية معينه للتوصل إلى رياضيات جديدة ولاعادة تنظيم وبناء المعرفة
الرياضية في مجال معين وابتكار رياضيات جديدة من جهة وبين مناشط واهتمامات معلم
الرياضيات حيث يعلم رياضيات معينه لتلاميذ في مستوى تعليمي معين .
فالرياضيات كمادة دراسية هي تطويع قائم به الرياضيون التربويون للرياضيات كعلم
لجعلها قابلة للاستيعاب والفهم من جانب التلاميذ في عمر زمني معين وبقدرات عقلية .
بمعنى آخر فالرياضيات كمادة دراسية تحتوي في جوهرها على المفاهيم الأساسية لعلم
الرياضيات ولكن لتبسيطها حتى تلائم خصائص المتعلم الذي يمر بمرحلة معينه وتناسب
خلفيته الرياضية حيث يكون المهم أن يكتسب المعلم كيفية إجراء العمليات الاستيعابية
البسيطة التي يمكن بواسطتها اشتقاق بعض النتائج من معلومات رياضية متاحة لدية .
ويمكن تصنيف محتوى الرياضيات المدرسية إلى.
1- المفاهيم:-
تعد المفاهيم من اللبنات الأساسية في المعرفة الرياضية ويعرف المفهوم بأنه :-
تجريد الصفات الأساسية التي تعطي المصطلح ما معناه الرياضي .
وتوجد عدة تصنيفات للمفاهيم الرياضية إلا أننا سوف نأخذ بهذا التصنيف الذي يصنف
المفاهيم إلى :-
أ- مفاهيم انتقالية مثل " العدد ، المحيط، الجمع ، ....الخ "
ب- مفاهيم أولية:-
ت- تتضمن المصطلحات غير المعرفة في نظام رياضي معين مثل " نقطة ، خط مستقيم ، شعاع
، قطعة مستقيمة ........"
ث- مفاهيم تتعلق بالتعريفات ( المثلث، الدائرة )
ج- مفاهيم تتعلق بعمليات ( الجمع والطرح والضرب والقسمة)
ح- مفاهيم تتعلق بخواص ( الإبدال والدمج والتوزيع والعنصر المحايد )
خ- مفاهيم تتعلق بعلاقات رياضية ( التساوي والتكافؤ أكبر من ، التناظر الأحادي )
د- مفاهيم تتعلق بالنظام الرياضي .
2- التعميمات:-
أ- الحقيقة الرياضية تعرف بأنها تقييم العلاقات يمكن استنتاجها عن طريق الإثبات
والبرهنة أو التسلح بصحتها ومن الحقائق الرياضية
5+3= 8
7-3=4
6×9=54
72÷8=9
1- المبدأ الرياضي
2- القاعدة
3- العمليات والعلاقات
4- الفرض والنظريات
البرهان الرياضي
معنى البرهان: - هو نوع من المعالجة التي تهدف إلى الاقتناع بصحة قضية ما من خلال
تقديم أدله تدعو إلى الاقتناع إلى حد التأكد من صحة ذلك.
تعريف آخر :- هو أية مناقشة أو تتقديم لشواهد تقنع شخصياً ما بقضية معينه.
البرهان الرياضي يكون صحيحا إذا وفقط إذا:-
أ- كانت الإستراتيجية المستخدمة تعتمد على توجيه منطقية.
ب- كانت العبارات المستخدمة كشواهد مقبولة بصحتها.
مثال واقعي :- البرهان على نظافة مدرسة معينه هو نظافة مبناها ، تلاميذها ، إدارتها
ومعلميها.
المجموعات والعمليات عليها
مجموعة التقاطع:- العناصر المشتركة بين س ، م أو هي تلك العناصر التي تنتمي إلى س
وتنتمي أيضاً إلى م .
ويرمز لها بالرمز س n م
س = مجموعة أحرف كلمة المحافظة
ص = مجموعة أحرف كلمة النظافة
س = } أ ، ل، م ، ح ، ف ، ظ ، ة {
ص = } أ ، ل، ن ، ظ ، ف ، ة {
س ص
س n ص
مجموعة الاتحاد :- هي المجموعة التي تضم جميع العناصر الموجودة في مجموعة والمجموعة
الأخرى بدون تكرار.
أو هي تضم جميع العناصر التي تنتمي إلى س أو تنتمي إلى م.
س = مجموعة أحرف كلمة " الصحة"
ص = مجموعة أحرف كلمة " البيئة"
س = } أ ، ل ، ص،ح ، ة {
ص = } أ ، ل ، ب ، ي ،ئ ،ة{
س م
س
س U ص
المجموعة الخالية :- هي التي لا تحتوي على عناصر
س= مجموعة الإعداد الطبيعية المحصورة بين 11، 12
س = } { أو
ص = مجموعة الكلمات المحصورة بين مسابقة المحافظة في عبارة ( مسابقة المحافظة على
النظافة والصحة في البيئة المدرسية)
ص = } { أو
تسالي رياضية.
1- رتب 17 عودا من عيدان الكبريت بحيث يتكون منها 6 مربعات
المطلوب * أن تأخذ منها 6 عيدان بحيث يتكن من العيدان الباقية مربعان كاملان ، بشرط
ألا يتغير مواضع العيدان الباقية
التحويلات الهندسية
هناك عدة أنواع للتحويلات الهندسية منها:-
الإنعكاس ، الانسحاب ،الدوران، التكبير.
أولا :- الإنعكاس :- لعلك تلاحظ صورة الأشجار بالانعكاس في محور حيث محور الإنعكاس
هنا هو الخط الذي يحدد سطح الملامس للشاطئ .
الإنعكاس نوعان :- الإنعكاس في محور ل يعين لكل نقطة أ في مستوى الورقة صورة .
أ حيث : أأ ل ، أء = أء
خواص الانعكاس في محور:-
• الإنعكاس يحافظ على البيئة
• الإنعكاس يحافظ على الاستقامة
• الإنعكاس يحافظ على الأطوال
• الإنعكاس يحافظ على قياس الزوايا
• الإنعكاس يحافظ على التوازي.
الانعكاس في نقطة :- الانعكاس في نقطة مثل م يعين لكل نقطة أ في المستوى صورة أ أم
بحيث يكون أم = أم والنقطة الوحيدة التي تقترن بنفسها هي النقطة م التي تسمى مركز
الانعكاس,
بالانعكاس في المحور الصادي :- صورة النقطة ( س ، ص ) هي النقطة ( - س ، ص )
بالانعكاس في المحور السيني : صورة النقطة ( س ، ص ) هي النقطة ( س ، - ص )
الانسحاب :- عملت أن الانعكاس يعين لكل نقطة أ في المستوى نقطة واحدة أ تسمى صورة أ
بالانعكاس.
أما بالنسبة للانسحاب
يعين لكل نقطة أ في المستوى صورة أ وذلك بإزاحة كل نقطة مساقة معينة في اتجاه معين
واحد وتسمى هذه المسافة بمقدار الانسحاب ويسمى الاتجاه اتجاه الانسحاب.
مفاهيم رياضية.
الأشكال الهندسية الرباعية :- هي مساحات مغلقة تحدها أربعة أضلاع من الأشكال
الرباعية.
المستطيل هو شكل هندسي رباعي .
1) اضلاعة المتقابلة متساوية ومتوازية إي إنها إذا أمدا على استقامتهما لا يلتقيان.
2) زواياه الأربع قائمة.
3) قطراه متساويان وغير متعامدين.
أ طول أو قاعدة ء
عرض أو ارتفاع
ب طول أو قاعدة ج
محيط المستطيل = 2× ( الطول + العرض )
مساحة المستطيل = الطول × العرض
المربع هو شكل هندسي رباعي
1) جميع أضلاعه متساوية
2) زواياه الأربع قائمة
3) قطراه متساويان ومتعامدان.
محيط المربع = 4 × طول الضلع للمربع.
السماحة = طول الضلع × نفسة
تطبيقات على محيط المربع ومساحة المربع
1- حديقة بيتكم مربعة الشكل طول ضلعها 45 متر فما هو محيطها؟
إذا كان المتر الواحد يكلف 5 ريالات عمانية في تنظيفها فكم يكلف تنظيف الحديقة
كاملة؟
الحل :-
مكر معنا.
2- محيط طاولة مربعة الشكل 6سم ما هو طول ضلعها؟
الدائرة :- هي منحنى مغلق جميع نقاطة تكون على أبعاد متساوية من نقطة ثابتة تسمى
مركز الدائرة.
مركز الدائرة هو النقطة الثابتة الواقعة في وسط الدائرة على أبعاد متساوية من جميع
تقاطعاتها والمركز هو النقطة التي وضعتها على الفرجار .
محيط الدائرة = 2 ت نق.
مساحة الدائرة = ت نق2
في حياتنا
بسم الله الرحمن الرحيم
المقدمة
تعد طبيعة الرياضيات أحد المؤثرات على مكونات المنهج من أهداف ومحتويات وطرق تدريس
ووسائل وأنشطة تعليمية وتقويم ويندر وجود كتابات حديثة تتعلق بتطوير مناهج
الرياضيات وطرق تدريسها دون أن تعترض لطبيعة الرياضيات وتأثيرها في هذا المجال لذلك
سوف نتناول طبيعة الرياضيات من خلال الرياضيات كعلم ، الرياضيات كمادة دراسية ثم
سننتقل إلى بنذه عن المجموعات والتحويلات الهندسية وتطبيقاتها في مجالات الحياة
المتعددة هذا ونتمنى من الله التوفيق.
فهرس المحتويات
• الرياضيات كمعلم .
• الرياضيات كمادة دراسية
• المجموعات في الرياضيات والتطبيقات عليها.
• الرياضيات والتحويلات الهندسية.
• مفاهيم رياضية.
يسرنا أن نقدم بين أيديكم إصدارنا الأول من مجلة رياضية بعنوان وقفة مع الرياضيات
ونتمنى أن تنال إعجابكم وإعجاب القراء الأعزاء نسأل الله التوفيق وهو القادر على
ذلك.
الرياضيات كعلم
عرف الرياضيات قديما بأنه " علم المقدار المتصل والمنفصل " أو هو علم " الكم" وعلى
تلك كان ينظر إلى الحساب والجبر على أنهما يتناولان دراسة الأعداد والعمليات عليها
، وإلى الهندسة على أنها مختصة بدارسة النفط والخطوط والأسطح والأحجام والعلاقات
بينها وهنا مما يدل على أنها جميعا تتعلق بالمقدار المتصل والمنفصل والكم المنفصل
كما في الأعداد وهي موضع اهتمام الحساب أو كما في حروف الهجاء التي تستخدم الرموز
في التعبير عن كم غير محدود وهو موضع اهتمام علم الجبر ، أما الكم المتصل فهو ما
يتعلق بالمكان والزمان أو تتعلق بمعنى الحركة بأشكالها المختلفة وهو الأقلية ونظرية
المجموعات المجردة وجبر المنطق أصبح من الواضح عدم وجود علاقة جوهرية بين الرياضيات
والكم .
وعرف أيضا علم الرياضيات بأنه أحد المجالات المتميزة فهو علم تجريدي من خلق وإبداع
العقل البشري تهم من ضمن ما تهم به الأفكار والطرائق وأنما التفكير.
الرياضيات كمادة دراسية :-
الرياضيات كعلم المجال معرفي ، له فلسفته وطبيعته الخاصة والرياضيات كمادة دراسية
تقدم للطلاب في مستويات الدراسة المختلفة يمكن التمييز بينهما بصورة ملموسة عندما
تقارن بين مناشط واهتمامات " الرياضي"
حيث يتبع أساليب بحثية معينه للتوصل إلى رياضيات جديدة ولاعادة تنظيم وبناء المعرفة
الرياضية في مجال معين وابتكار رياضيات جديدة من جهة وبين مناشط واهتمامات معلم
الرياضيات حيث يعلم رياضيات معينه لتلاميذ في مستوى تعليمي معين .
فالرياضيات كمادة دراسية هي تطويع قائم به الرياضيون التربويون للرياضيات كعلم
لجعلها قابلة للاستيعاب والفهم من جانب التلاميذ في عمر زمني معين وبقدرات عقلية .
بمعنى آخر فالرياضيات كمادة دراسية تحتوي في جوهرها على المفاهيم الأساسية لعلم
الرياضيات ولكن لتبسيطها حتى تلائم خصائص المتعلم الذي يمر بمرحلة معينه وتناسب
خلفيته الرياضية حيث يكون المهم أن يكتسب المعلم كيفية إجراء العمليات الاستيعابية
البسيطة التي يمكن بواسطتها اشتقاق بعض النتائج من معلومات رياضية متاحة لدية .
ويمكن تصنيف محتوى الرياضيات المدرسية إلى.
1- المفاهيم:-
تعد المفاهيم من اللبنات الأساسية في المعرفة الرياضية ويعرف المفهوم بأنه :-
تجريد الصفات الأساسية التي تعطي المصطلح ما معناه الرياضي .
وتوجد عدة تصنيفات للمفاهيم الرياضية إلا أننا سوف نأخذ بهذا التصنيف الذي يصنف
المفاهيم إلى :-
أ- مفاهيم انتقالية مثل " العدد ، المحيط، الجمع ، ....الخ "
ب- مفاهيم أولية:-
ت- تتضمن المصطلحات غير المعرفة في نظام رياضي معين مثل " نقطة ، خط مستقيم ، شعاع
، قطعة مستقيمة ........"
ث- مفاهيم تتعلق بالتعريفات ( المثلث، الدائرة )
ج- مفاهيم تتعلق بعمليات ( الجمع والطرح والضرب والقسمة)
ح- مفاهيم تتعلق بخواص ( الإبدال والدمج والتوزيع والعنصر المحايد )
خ- مفاهيم تتعلق بعلاقات رياضية ( التساوي والتكافؤ أكبر من ، التناظر الأحادي )
د- مفاهيم تتعلق بالنظام الرياضي .
2- التعميمات:-
أ- الحقيقة الرياضية تعرف بأنها تقييم العلاقات يمكن استنتاجها عن طريق الإثبات
والبرهنة أو التسلح بصحتها ومن الحقائق الرياضية
5+3= 8
7-3=4
6×9=54
72÷8=9
1- المبدأ الرياضي
2- القاعدة
3- العمليات والعلاقات
4- الفرض والنظريات
البرهان الرياضي
معنى البرهان: - هو نوع من المعالجة التي تهدف إلى الاقتناع بصحة قضية ما من خلال
تقديم أدله تدعو إلى الاقتناع إلى حد التأكد من صحة ذلك.
تعريف آخر :- هو أية مناقشة أو تتقديم لشواهد تقنع شخصياً ما بقضية معينه.
البرهان الرياضي يكون صحيحا إذا وفقط إذا:-
أ- كانت الإستراتيجية المستخدمة تعتمد على توجيه منطقية.
ب- كانت العبارات المستخدمة كشواهد مقبولة بصحتها.
مثال واقعي :- البرهان على نظافة مدرسة معينه هو نظافة مبناها ، تلاميذها ، إدارتها
ومعلميها.
المجموعات والعمليات عليها
مجموعة التقاطع:- العناصر المشتركة بين س ، م أو هي تلك العناصر التي تنتمي إلى س
وتنتمي أيضاً إلى م .
ويرمز لها بالرمز س n م
س = مجموعة أحرف كلمة المحافظة
ص = مجموعة أحرف كلمة النظافة
س = } أ ، ل، م ، ح ، ف ، ظ ، ة {
ص = } أ ، ل، ن ، ظ ، ف ، ة {
س ص
س n ص
مجموعة الاتحاد :- هي المجموعة التي تضم جميع العناصر الموجودة في مجموعة والمجموعة
الأخرى بدون تكرار.
أو هي تضم جميع العناصر التي تنتمي إلى س أو تنتمي إلى م.
س = مجموعة أحرف كلمة " الصحة"
ص = مجموعة أحرف كلمة " البيئة"
س = } أ ، ل ، ص،ح ، ة {
ص = } أ ، ل ، ب ، ي ،ئ ،ة{
س م
س
س U ص
المجموعة الخالية :- هي التي لا تحتوي على عناصر
س= مجموعة الإعداد الطبيعية المحصورة بين 11، 12
س = } { أو
ص = مجموعة الكلمات المحصورة بين مسابقة المحافظة في عبارة ( مسابقة المحافظة على
النظافة والصحة في البيئة المدرسية)
ص = } { أو
تسالي رياضية.
1- رتب 17 عودا من عيدان الكبريت بحيث يتكون منها 6 مربعات
المطلوب * أن تأخذ منها 6 عيدان بحيث يتكن من العيدان الباقية مربعان كاملان ، بشرط
ألا يتغير مواضع العيدان الباقية
التحويلات الهندسية
هناك عدة أنواع للتحويلات الهندسية منها:-
الإنعكاس ، الانسحاب ،الدوران، التكبير.
أولا :- الإنعكاس :- لعلك تلاحظ صورة الأشجار بالانعكاس في محور حيث محور الإنعكاس
هنا هو الخط الذي يحدد سطح الملامس للشاطئ .
الإنعكاس نوعان :- الإنعكاس في محور ل يعين لكل نقطة أ في مستوى الورقة صورة .
أ حيث : أأ ل ، أء = أء
خواص الانعكاس في محور:-
• الإنعكاس يحافظ على البيئة
• الإنعكاس يحافظ على الاستقامة
• الإنعكاس يحافظ على الأطوال
• الإنعكاس يحافظ على قياس الزوايا
• الإنعكاس يحافظ على التوازي.
الانعكاس في نقطة :- الانعكاس في نقطة مثل م يعين لكل نقطة أ في المستوى صورة أ أم
بحيث يكون أم = أم والنقطة الوحيدة التي تقترن بنفسها هي النقطة م التي تسمى مركز
الانعكاس,
بالانعكاس في المحور الصادي :- صورة النقطة ( س ، ص ) هي النقطة ( - س ، ص )
بالانعكاس في المحور السيني : صورة النقطة ( س ، ص ) هي النقطة ( س ، - ص )
الانسحاب :- عملت أن الانعكاس يعين لكل نقطة أ في المستوى نقطة واحدة أ تسمى صورة أ
بالانعكاس.
أما بالنسبة للانسحاب
يعين لكل نقطة أ في المستوى صورة أ وذلك بإزاحة كل نقطة مساقة معينة في اتجاه معين
واحد وتسمى هذه المسافة بمقدار الانسحاب ويسمى الاتجاه اتجاه الانسحاب.
مفاهيم رياضية.
الأشكال الهندسية الرباعية :- هي مساحات مغلقة تحدها أربعة أضلاع من الأشكال
الرباعية.
المستطيل هو شكل هندسي رباعي .
1) اضلاعة المتقابلة متساوية ومتوازية إي إنها إذا أمدا على استقامتهما لا يلتقيان.
2) زواياه الأربع قائمة.
3) قطراه متساويان وغير متعامدين.
أ طول أو قاعدة ء
عرض أو ارتفاع
ب طول أو قاعدة ج
محيط المستطيل = 2× ( الطول + العرض )
مساحة المستطيل = الطول × العرض
المربع هو شكل هندسي رباعي
1) جميع أضلاعه متساوية
2) زواياه الأربع قائمة
3) قطراه متساويان ومتعامدان.
محيط المربع = 4 × طول الضلع للمربع.
السماحة = طول الضلع × نفسة
تطبيقات على محيط المربع ومساحة المربع
1- حديقة بيتكم مربعة الشكل طول ضلعها 45 متر فما هو محيطها؟
إذا كان المتر الواحد يكلف 5 ريالات عمانية في تنظيفها فكم يكلف تنظيف الحديقة
كاملة؟
الحل :-
مكر معنا.
2- محيط طاولة مربعة الشكل 6سم ما هو طول ضلعها؟
الدائرة :- هي منحنى مغلق جميع نقاطة تكون على أبعاد متساوية من نقطة ثابتة تسمى
مركز الدائرة.
مركز الدائرة هو النقطة الثابتة الواقعة في وسط الدائرة على أبعاد متساوية من جميع
تقاطعاتها والمركز هو النقطة التي وضعتها على الفرجار .
محيط الدائرة = 2 ت نق.
مساحة الدائرة = ت نق2
