- قاعدة اوبيتال
قاعدة أوبيتال في التحليل الرياضي تستعمل الاشتقاق بهدف إيجاد النهايات لصيغ غير محددة في معظم الكسور. تحمل هذه القاعدة اسم الرياضي الفرنسي قييوم دي أوبيتال.
المبدأ
فليكن a عددا حقيقيا أو حتى ، بحيث تكون الدوال الحقيقية f و g معرّفة بقرب a و g مخالفة للصفر. لو حاولنا أن نحدد نهاية الكسر f / g في a، بحيث يقترب كل من البسط و المقام، كلاهما نحو الصفر أو كلاهما نحو اللانهاية، فإننا نستطيع أن نشتقهما و نحدد نهاية كسر المشتقات. و لو كانت موجودة، فإن القاعدة تؤكد أن هذه النهاية
ستكون مساوية للنهاية التي نبحث عنها.
نص قواعد أوبيتال
النص المبسط : في كتاب أوبيتال، القاعدة الموجودة هي تلك المستعملة عادة في حالة دالتين قابلتان للاشتقاق في a و حيث يكون الكسر معرّفا :
لو كان "f" و "g" دالتين قابلتان للاشتقاق في "a"، و مساويتين للصفر في a و حيث يكون الكسر معرّفا، فإن
.
و لكن، يمكن استعمال قاعدة أوبيتال في حالات أعمّ.
التعميم الأول على دوال، بحيث غير موجود بالضرورة.
لو كان f و g دالتين قابلتان للاشتقاق على النطاق ]a ; b[ و حيث نهايتهما في a، و إذا كانت g'(x) لا تساوي صفرا على ]a ; b[ و إذا كان فإن .
هذه النتيجة صالحة مهما كانت النهاية L حقيقية أو لانهائية.
التعميم الثاني على دوال تكون نهاياتها في a لانهائية.
لو كان f و g دالتين قابلتان للاشتقاق على ]a ; b[ و نهايتهما في a لا نهائية، و لو كانت المشتقة g'(x) مخالفة للصفر على ]a ; b[ و لو كانت فإن .
هذه النتيجة صالحة سواء أكانت L نهاية حقيقية أو لا نهائية.
نفس القواعد موجودة لدوال معرّّفة على ]b ; a[.
تبقى المبرهنات صالحة عند تعويض a بـ .
الإستعمالات
في حالة « 0 / 0 »، عادة ما نستعمل الصيغة الأولى :
في حالة « ∞/∞ »، نستعمل الصيغة الثانية :
أحيانا، يجب استعمال قاعدة أوبيتال مرات عديدة للوصول إلى النتيجة :
و قد يمكن إيجاد بعض النهايات، التي لا تظهر في شكل نهايات كسور، باستعمال هذه القاعدة :
نلاحظ أن الصيغ المعممة لا تعطينا إلا شروطا كافية لوجود النهاية. و بالتالي توجد حالات تكون فيها نهاية كسر المشتقات غير موجودة، في حين أن نهاية كسر الدوال
موجودة :
في حين أن :
ليس لها نهاية في الصفر.
في النهاية، سنعتني بالتأكد من أن g'(x) مخالفة للصفر بقرب a، بمعنى آخر أن g لا تتذبذب كثيرا حول نهاياتها، و إلا فإن القاعدة لا يمكن تطبيقها. على سبيل المثال، إذا كان :
و
، فإن
و
و بالتالي
و لكن
لا تملك نهاية في لأن تتذبذب بين 1/e و e.
الإستدلالات
الإستدلال على الصيغة البسيطة
إنها عملية بسيطة على النهايات. بما أن f(a)=g(a)=0، فإن :
بما أن f et g قابلتان للاشتقاق في a و أن الكسر معرّف، نستطيع أن نؤكد أن
1. g'(a) مخالف للصفر، و بالتالي g(x) مخالف للصفر على نطاق ]a ; c]
2.
الإستدلال على التعميم الأول
يحتاج الاستدلال على التعميم الأول لـمبرهنة القيمة الوسطى : لو كان f و g قابلتان للاشتقاق على النطاق ]x ; y[ و متواصلة على [x ; y]، و لو كانت g'(x) مخالفة للصفر، فإنه يوجد عدد حقيقي c ينتمي إلى ]x ; y[ بحيث :
و نستطيع أن نعرّف الدالتين بتواصلهما في a بوضع f(a) = g(a) = 0
بما أن g'(x) مخالفة للصفر على ]a ; b[، نستطيع أن نطبق مبرهنة القيمة الوسطى المعممة على النطاق [a ; x]
لكل عدد حقيقي x من ]a ; b[، يوجد عدد حقيقي c من ]a ; b[ بحيث .
بما أن و أن ، فإنه بالمثل لـ .
الإستدلال على التعميم الثاني
يحتاج الاستدلال على التعميم الثاني إلى نفس المبرهنة التي يجب استعمالها بحذر.
بما أن g'(x) مخالفة للصفر على النطاق ]a ; b[، لكل x و y مختلفتين من هذا النطاق، يمكننا إذن تطبيق مبرهنة القيمة الوسطى على النطاق [x ; y]
في كل نطاق [x ; y]، يوجد عدد حقيقي c من [x ; y] بحيث
بما أن نهايات f و g لا متناهية في a، فإنه يوجد نطاق ]a ; a'[ تكون فيه g(x) مخالفة للصفر، و يمكن كتابة العبارة السابقة إذن بالطريقة الآتية :
بما أن ، و c تنتمي إلى ]a ; y[، فإننا نستطيع أن نختار y بحيث يكون قريبا من الصفر بقدر ما نريد لكل x من ]a ; a r[.
للنهايات في ، يكفي أن نضع x = 1/t و نحاول أن نجد نهاية في 0.
لتكن f و g دالتين معرّفتين على [M > 0 ; [، قابلتين للاشتقاق على ]M ; [، إذا كانت g'(x) مخالفة للصفر و كانت فإن - منقول....................
2 مشترك
قاعدة اوبيتال
الكمراني- مستشار إداري
عدد الرسائل : 730
العمر : 36
البلد : اليمن
القسم والمستوى : مش مشغول
المزاج : متعكر
:
السٌّمعَة : 5
نقاط : 29
تاريخ التسجيل : 02/11/2007
بطاقة الشخصية
تخصصي: رياضيات
المحافظة: الحديدة
طارق البغوي- المدير العام للمنتدى
عدد الرسائل : 2833
العمر : 36
البلد : الجهورية اليمنية
القسم والمستوى : خريج قسم الرياضيات 2010م
المزاج : متقلب ( مزاج شاعر )
أختر علم دولتك :
:
السٌّمعَة : 14
نقاط : 985
تاريخ التسجيل : 28/09/2007
بطاقة الشخصية
تخصصي: رياضيات
المحافظة: الحديدة
يا عسل
كلك ذوق
أنت
تسوى الكل
كل مواضيعك هادفه
تقبل مروري
كلك ذوق
أنت
تسوى الكل
كل مواضيعك هادفه
تقبل مروري
الكمراني- مستشار إداري
عدد الرسائل : 730
العمر : 36
البلد : اليمن
القسم والمستوى : مش مشغول
المزاج : متعكر
:
السٌّمعَة : 5
نقاط : 29
تاريخ التسجيل : 02/11/2007
بطاقة الشخصية
تخصصي: رياضيات
المحافظة: الحديدة
مشكور على هذة الردود