منتدى طلاب جامعة الحديدة

أخي الزائر إن لم تكن عضواً في المنتدى فنحن ندعوك لكي تنظم إلينا وشكراً تحيات مدير المنتدى طارق البغوي
منتدى طلاب جامعة الحديدة


    تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا

    شاطر
    avatar
    طارق البغوي
    المدير العام للمنتدى
    المدير العام للمنتدى

    ذكر
    عدد الرسائل : 2833
    العمر : 31
    البلد : الجهورية اليمنية
    القسم والمستوى : خريج قسم الرياضيات 2010م
    المزاج : متقلب ( مزاج شاعر )
    أختر علم دولتك :
      :
    السٌّمعَة : 14
    نقاط : 985
    تاريخ التسجيل : 28/09/2007

    بطاقة الشخصية
    تخصصي: رياضيات
    المحافظة: الحديدة

    تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا

    مُساهمة من طرف طارق البغوي في الأربعاء مارس 18, 2009 4:33 am

    تعريف (مقارنة التوبولوجي)




    إذا كان لدينا توبولوجي على المجموعة فإننا نقول :
    1) التوبولوجي أقوى من ( finer than, Stronger than ) إذا و فقط إذا .
    2) التوبولوجي أضعف ( weaker than, coarser than ) إذا و فقط إذا .
    و في الحالتين الأولى و الثانية نقول على أن التوبولوجي و قابلات للمقارنة ( Comparable ) .
    3) التوبولوجي و غير قابلات للمقارنة ( Incomparable) إذا و فقط إذا و .
    أمثلة :
    كما بينا في فضاءات توبولوجية هامة بعض الأمثلة الهامة نجد ما يلي :
    على اعتبار أن فنلاحظ أن :
    1) جميع أنواع التوبولوجي تكون احتواء في ، أي أن أقوى أنواع التوبولوجي .
    2) نلاحظ أن احتواء في جميع أنواع التوبولوجي الأخرى ، أي أن أضعف أنواع التوبولوجي .
    3) نلاحظ أن .
    4) و نلاحظ أن و .
    5) و نلاحظ أيضاً و . أي أنهما غير قابلات للمقارنة .
    ملاحظات عامة :
    1) ليكن لدينا و ليكن لدينا :


    نلاحظ أن كل من و توبولوجي على ، و لكن هل ؟
    بالتأكيد لا ، و السبب يعود إلى .
    اتحاد عدة أنواع توبولوجية على الفضاء ليس شرطاً أن يكون الناتج فضاء توبولوجي .
    فكر : متى يكون حاصل اتحادهم فضاء توبولوجي ؟
    2) إذا كان لدينا عائلة من التوبولوجي على المجموعة .
    و بالتالي :


    عبارة عن توبولوجي على .
    الإثبات :
    اعتمد على أن كل مجموعة مفتوحة في إذا و فقط إذا متممة المجموعة مغلقة ، و تحقق من الشروط بنفسك .
    3) كما أشرنا سابقاً أن اتحاد عدد من المجموعات المفتوحة يجب أن يكون مجموعة مفتوحة ، و لكن هذا الأمر لا يتحقق في حالة التقاطع[م] ، أي تقاطع عدد من المجموعات المفتوحة ليس شرطاً مجموعة مفتوحة .
    و في حالة خاصة عند تقاطع عدود من المجموعات المفتوحة تسمى المجموعة .
    و بالتالي التقاطع المحدود من المجموعات المفتوحة هو مجموعة و هو الشرط الثاني في شروط التوبولوجي على أي مجموعة .
    و كذلك الأمر بالنسة للمجموعات المغلقة مع استبدال كلمة تقاطع باتحاد و العكس .
    أي اتحاد مجموعات مغلقة ليس شرطاً أن يكون مجموعة مغلقة مالم يكن الإتحاد محدود ، و لكن تقاطع عدد من المجموعات المغلقة الناتج لا بد أن يكون مجموعة مغلقة .
    و في حالة إن كان لدينا اتحاد قابل للعد منها تسمى المجموعة .
    للمعلومات عن و انظر في مجموعات اف-سيجما جي-دلتا و ستجد معلومة لإستثمارها في بناء أمثلة كما ذكر هنا .
    دعنا نناقش المثال الآتي لترسيخ فكرة المجموعة المغلقة و المفتوحة في فضاء توبولوجي معين :
    ليكن لدينا ، نلاحظ ما يلي :
    أ‌) : ليست مجموعة مفتوحة بسبب أنه لا يمكن إيجاد بيحث :


    و أيضاً ليست مجموعة مغلقة بسبب :


    ليست مجموعة مفتوحة لنفس السبب .
    ب‌) : ليست مجموعة مفتوحة لنفس السبب السابق ، و لكنها مجموعة مغلقة بسبب :


    مجموعة مفتوحة في .
    ج) : ليست مجموعة مفتوحة ، بسبب أنه لا يمكن أتحوي على فترة ، و لكنها مجموعة مغلقة بالتأكيد لنفس الأسباب السابقة .
    د) : مجموعة مفتوحة و ليست مجموعة مغلقة .
    ه) : ليست مجموعة متفوحة بسبب لا يمكنها احتواء أي فترة تحوي الرقم .
    و ليست مجموعة مغلقة بسبب أن متممتها ليست مجموعة مفتوحة .
    بنفس الطريقة يمكن مناقشة المجموعات السابقة في الفضاءات التوبولوجية الأخرى .( متروك للقارىء) .
    هنالك نظرية رائعة تبين إن كانت المجموعة مفتوحة أو لا و هي :
    نظرية (*) :
    ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي و لتكن ، فتكون المجموعة مجموعة مفتوحة إذا و فقط إذا لكل نقطة يوجد لدينا مجموعة مفتوحة بحيث .
    الإثبات :
    الإتجاه الأول واضح على اعتبار أن لكل النقاط .
    الإتجاه الآخر :
    لتكن و أنه يوجد لدينا مجموعة مفتوحة بحيث ، وبما ان التوبولوجي مغلق تحت أي اتحاد للمجموعات المفتوحة ، فإنه يمكن كتابة المجموعة بالشكل الآتي :





    _________________

    أذا ما ذكرت أسمها بت أغفوا


    أعانقها في هدوء الحياء


    وصمت المحبة


    أرشف من هجرها


    نبع روحي


    لتنبت بين ضفائرها قصة


    تقول ألتقينا ...


    والكن ...


    على نصف حلم بكينا


    فتغتصب الشوق

    avatar
    طارق البغوي
    المدير العام للمنتدى
    المدير العام للمنتدى

    ذكر
    عدد الرسائل : 2833
    العمر : 31
    البلد : الجهورية اليمنية
    القسم والمستوى : خريج قسم الرياضيات 2010م
    المزاج : متقلب ( مزاج شاعر )
    أختر علم دولتك :
      :
    السٌّمعَة : 14
    نقاط : 985
    تاريخ التسجيل : 28/09/2007

    بطاقة الشخصية
    تخصصي: رياضيات
    المحافظة: الحديدة

    رد: تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا

    مُساهمة من طرف طارق البغوي في الأربعاء مارس 18, 2009 4:33 am

    تااااااااااااااااااااااااااااابع




    تعريف ( الكلوجر أو الإغلاق Closure )


    ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي ، و لتكن ، فيكون الكلوجر Closure (إغلاق) للمجموعة أصغر مجموعة مغلقة تحوي المجموعة و يكتب الكلوجر للمجموعة بالرمز .
    نستطيع صياغة التعريف بطريقة أخرى و هي :



    و بالتالي نستنتج ما يلي :
    1) .
    2) إذا كانت مجموعة مغلقة ، فإن .
    3) إذا كان لدينا فإن .
    4) .
    الإثبات :
    فرع (1) و (2) و (3) واضح من خلال التعريف .
    إثبات (4) :
    بما أنه لدينا و ، فإن :




    و لكن ، بسبب أن اتحاد محدود من مجموعات مغلقة يكون مجموعة مغلقة و بالتالي :



    و الاتجاه الآخر :
    بما أن و
    ينتج المطلوب .
    يطرح السؤال الآتي :
    كيف يمكنني أن أقوم بعملية حساب الكلوجر لمجموعة محددة ؟
    من خلال النظرية التي ستعرض حالياً سيصبح الأمر بسيطاً :
    نظرية :
    ليكن لدينا فضاء توبولوجي و لتكن و بالتالي :
    إذا و فقط إذا لكل مجموعة مفتوحة يكون لدينا
    الإثبات :
    ليكن لدينا و لنفرض أنه يوجد لدينا مجموعة مفتوحة بحيث :



    الآن افرض أن ، بما أن و هذا تناقض .
    الإتجاه الآخر :
    لنفرض أن و لنفرض أن .
    و بالتالي مجموعة مفتوحة تحوي النقطة و لا تقطع المجموع و هذا تناقض .
    يمكن اسثمار هذه النظرية في إيجاد الكلوجر للمجموعات عن طريق البحث للنقاط التي لأي مجموعة مفتوحة تحويها يجب أن تقطع المجموعة المراد حساب الإغلاق لها .
    لندرس الأمثلة الآتية في عدة فضاءات مختلفة :
    ليكن لدينا و لنفرض أن ، نريد إيجاد في كل من :
    1) :
    لندرس النقاط خارج المجموعة ، فنلاحظ حسب تعريف الفضاء التوبولوجي المعتاد أن أي فترة مفتوحة تحوي النقطة ، و بالتالي الصفر ينتمي لمجموعة الإغلاق ، و كذلك الأمر بالنسبة للنقطة .
    و بالنسبة لجميع النقاط الأخرى ، يمكن إيجاد فترة بقياس صغير بحيث لا تقطع المجموعة .
    و بالتالي .
    2) :
    لاحظ أي شعاع أيسر مفتوح يحوي النقطة لا بد أن يقطع المجموعة ، بل كل النقاط التي تكون أكبر من لأي شعاع أيسر لا بد أن يقطعها . و بالتالي جميعها في الكلوجر .
    أما بالنسبة للنقاط التي تكون قبل الصفر ،يمكن اختيار شعاع أيسر لا يقطع و بالتالي .
    3) :
    بنفس الطريقة السابقة نجد .
    4) :
    لاحظ أن كل نقطة على خط الأعداد لا يمكن أن يكون لها مجموعة مفتوحة بحيث متممتها مجموعة محدودة دون ان تقطع المجموعة .و نفس الشيء للتوبولوجي .
    5) :
    لا يوجد مجموعة مفتوحة تحوي نقاط المجموعة غير .
    و بالتالي .
    6) :
    نلاحظ أن كل نقطة عبارة عن مجموعة مفتوحة في التوبولوجي المتقطع أي أن .
    نلاحظ من الأمثلة السابقة ما يلي :
    أ‌) أن كل مجموعة في تكون مغلقة إذا و فقط إذا كانت محدودة .
    و السبب بشكل بسيط كل نقطة خارج يكون لدينا مجموعة مفتوحة تحوي النقطة ولا تقطع .
    ب‌) عناصر التوبولوجي هي مجموعات كلوبن ( مغلقة و مفتوحة بنفس الوقت ) بل نستنتج ما يلي :
    التوبولوجي إذا و فقط إذا لكل نقطة يكون لدينا المجموعة .
    الإتجاه الأول واضح .
    الآن لدينا .
    يبقى إثبات لكل مجموعة هي مجموعة في .
    و لكن لدينا هي مجموعة مفتوحة في حسب المعطى .
    و بالتالي .
    و منها نصل إلى أن .
    ج) من خلال طريقة حساب الكلوجر للمجموعات نستنتج أن :


    ليست دائماً صحيحة ، خذ مثلاً المجموعتين كلاهما مجموعتين مفتوحتين في التوبولوجي المعتاد و لكن لا يحقق المقولة السابقة .
    و لكن دائماً لدينا :


    .


    _________________

    أذا ما ذكرت أسمها بت أغفوا


    أعانقها في هدوء الحياء


    وصمت المحبة


    أرشف من هجرها


    نبع روحي


    لتنبت بين ضفائرها قصة


    تقول ألتقينا ...


    والكن ...


    على نصف حلم بكينا


    فتغتصب الشوق

    avatar
    طارق البغوي
    المدير العام للمنتدى
    المدير العام للمنتدى

    ذكر
    عدد الرسائل : 2833
    العمر : 31
    البلد : الجهورية اليمنية
    القسم والمستوى : خريج قسم الرياضيات 2010م
    المزاج : متقلب ( مزاج شاعر )
    أختر علم دولتك :
      :
    السٌّمعَة : 14
    نقاط : 985
    تاريخ التسجيل : 28/09/2007

    بطاقة الشخصية
    تخصصي: رياضيات
    المحافظة: الحديدة

    رد: تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا

    مُساهمة من طرف طارق البغوي في الأربعاء مارس 18, 2009 4:35 am

    تااااااااااااااااااااابع





    تعريف ( النقط الصماء Cluster points )


    ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي ، و لتكن ، فإننا نقول عن النقطة عبارة عن نقطة صماء للمجموعة إذا وفقط إذا لكل مجموعة مفتوحة تحوي النقطة فإن :




    أي أن المجموعة تقطع المجموعة دون النقطة .
    يرمز لمجموعة النقاط الصماء للمجموعة بالرمز و تسمى Derived set ،و نسمي النقطة الصماء باسم Cluster point ، Accumlation point ، Llimit point.
    و بنفس الطريقة التي قمنا حساب الكلوجر للمجموعة ، نستطيع من خلال هذه النظرية نستطيع أن نحسب النقط الصماء للمجموعة ، لندرس الأمثلة الآتية :
    ليكن لدينا و لنفرض أن ، نريد إيجاد في كل من :
    1) :
    لندرس النقاط خارج المجموعة ، فنلاحظ حسب تعريف الفضاء التوبولوجي المعتاد أن أي فترة مفتوحة تحوي النقطة ، و بالتالي الصفر ينتمي لمجموعة الإغلاق ، و كذلك الأمر بالنسبة للنقطة .
    و بالنسبة لجميع النقاط الأخرى ، يمكن إيجاد فترة بقياس صغير بحيث لا تقطع المجموعة مع إزالة النقطة منها .
    و بالتالي .
    2) :
    لاحظ أي شعاع أيسر مفتوح يحوي النقطة لا بد أن يقطع المجموعة ، بل كل النقاط التي تكون أكبر من لأي شعاع أيسر لا بد أن يقطعها مع إزالة النقطة منها . و بالتالي جميعها في .
    أما بالنسبة للنقاط التي تكون قبل الصفر ،يمكن اختيار شعاع أيسر لا يقطع مع إزالة النقطة منها.
    و بالتالي .
    • ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي المعتاد على ، و لتكن لدينا المجموعتين و المجموعة .
    جد ما يلي :
    1) :
    لاحظ تماماً أن كل نقطة في المجموعة لا بد أي فترة مفتوحة تحوي تلك النقطة يجب أن تقطع المجموعة ، و لاحظ أيضاً أن لاي فترة مفتوحة تحويه لا بد أن تقطع المجموعة .
    و بالتالي : .
    2) :
    لاحظ لكل فترة مفتوحة تحوي أي نقطة من ، فإنه يمكن اختيار بشكل صغير بحيث لا يقطع المجموعة مع إزالة النقطة منها .
    إلا أن ، لا بد لأي فترة تحويه أن تقطع المجموعة بدونه .
    و بالتالي .
    3) استنتج بنفسك أن .
    تعريف ( نقطة إنعزال Isolated Point )


    ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي ، و لتكن ، فإننا نقول عن النقطة عبارة عن نقطة إنعزال للمجموعة إذا وفقط إذا كان يوجد مجموعة مفتوحة تحوي النقطة و كان :



    نرمز لمجموعة نقاط الإنعزال للمجموعة بالرمز .
    لتوضيح المفهوم :
    في الفضاء التوبولوجي نلاحظ أن نقاط الإنعزال للمجموعة هي نفسها ، و بالمقابل نجد ان نقاط الصماء لها هي المجموعة .
    لو أخذنا مثلاً المجموعة ، فنلاحظ أنه لا يمكن أن نجد فترة واحد تحوي أي نقطة بحيث تكون حاصل تقاطعها مع هي النقطة فقط .
    وبالتالي و لكن .
    تعريف ( داخلية المجموعة Interior of Set )


    ليكن لدينا فضاء توبولوجي ، و لتكن .
    نقول عن النقطة هي نقطة داخلية للمجموعة إذا وفقط إذا كان يوجد لدينا مجموعة مفتوحة تحوي النقطة و يكون لدينا :



    نرمز لمجموعة النقاط الداخلية للمجموعة بالرمز أو بالرمز .
    لنوضح المفهوم بمثال بسيط :
    ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي ، و لتكن ، فنلاحظ لو تم أخذ أي نقطة داخل ، فإن أي شعاع أيسر (شكل المجموعة المفتوحة) يحوي النقطة، لا يمكن و بأي شكل من الأشكال ان يكون احتواء في المجموعة .
    و بالتالي .
    إذن نلاحظ لا يعني داخلية المجموعة هي النقاط التي بداخله ، و إنما النقاط التي إذا حوطت بمجموعة مفتوحة تبقى احتواء داخل نفس المجموعة .
    ملاحظات :
    1) نلاحظ من نظرية (*) أن هي مجموعة مفتوحة .
    الإثبات بسيط بالإعتماد على تعريف داخلية المجموعة .
    2) داخلية المجموعة هي أكبر مجموعة مفتوحة إحتواء في المجموعة ، على عكس تعريف كلوجر للمجموعة بأنها أصغر مجموعة مغلقة تحوي المجموعة .
    3) تكون المجموعة مجموعة مفتوحة إذا و فقط إذا .
    الإثبات لها أيضاً واضح من خلال تعريف داخلية المجموعة .
    4) داخلية المجموعة هي عبارة عن :






    تعريف ( خارجية المجموعة Exterior of Set )



    ليكن لدينا فضاء توبولوجي ، و لتكن .
    نقول عن النقطة هي نقطة خارجية للمجموعة إذا وفقط إذا كان يوجد لدينا مجموعة مفتوحة تحوي النقطة و يكون لدينا :



    نرمز لمجموعة النقاط الخارجية للمجموعة بالرمز .
    ما ينطبق على طرق حساب داخلية المجموعة ينطبق على خارجية المجموعة ، و لكن بتديل المجموعة بــ .
    و طريقة حساب خارجية المجموعة هي نفس أسلوب حساب داخلية المجموعة .
    فمثلاً :
    ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي و لتكن لدينا المجموعة ، فإن خارجية المجموعة هي ، بسبب أنه لا يمكن أن يكون لدينا مجموعة مفتوحة تحوي أي نقطة و تكون احتواء في المتممة .
    تعريف ( حدود المجموعة Boundary of set )


    ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي و لتكن المجموعة فإننا نقول أن النقطة هي عبارة عن نقطة تقع على حدود المجموعة إذا و فقط إذا لكل مجموعة مفتوحة تحوي النقطة يكون لدينا :
    و


    و نرمز لمجموعة النقاط التي تقع على حدود المجموعة بالرمز .
    لندرس الأمثلة الآتية :
    ليكن لدينا .
    1) في الفضاء التوبولوجي سنجد أن :
    .


    2) و في الفضاء التوبولوجي المعتاد ، سنجد أن .
    و السبب يعود لشكل المجموعات المفتوحة في كل توبولوجي


    _________________

    أذا ما ذكرت أسمها بت أغفوا


    أعانقها في هدوء الحياء


    وصمت المحبة


    أرشف من هجرها


    نبع روحي


    لتنبت بين ضفائرها قصة


    تقول ألتقينا ...


    والكن ...


    على نصف حلم بكينا


    فتغتصب الشوق

    avatar
    طارق البغوي
    المدير العام للمنتدى
    المدير العام للمنتدى

    ذكر
    عدد الرسائل : 2833
    العمر : 31
    البلد : الجهورية اليمنية
    القسم والمستوى : خريج قسم الرياضيات 2010م
    المزاج : متقلب ( مزاج شاعر )
    أختر علم دولتك :
      :
    السٌّمعَة : 14
    نقاط : 985
    تاريخ التسجيل : 28/09/2007

    بطاقة الشخصية
    تخصصي: رياضيات
    المحافظة: الحديدة

    رد: تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا

    مُساهمة من طرف طارق البغوي في الأربعاء مارس 18, 2009 4:36 am

    تاااااااااااااااابع



    تعريف ( المجموعة الكثيفة Dense Set )


    ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي ، و ليكن لدينا ، فإننا نقول عن المجموعة مجموعة كثيفة في الفضاء التوبولوجي إذا و فقط إذا كان لدينا .
    لاحظ أنه يترجم التعريف السابق إلى ما يأتي :
    لكل ولكل مجموعة مفتوحة تحوي فإنه لدينا :



    أي يجب كل المجموعات المفتوحة تقطع .
    مثال :
    لاحظ في الفضاء التوبولوجي المعتاد أن مجموعة الأعداد النسبية و الغير نسبية كثيفة . و السبب يعود أن كل مجموعة مفتوحة لا بد تقطعهما ، بل لو قمنا بحساب الكلوجر لهما لوجدناه أن يعطي .
    تعريف ( المجموعة المتناثرة Nowhere Dense Set )



    ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي ، و ليكن لدينا ، فإننا نقول عن المجموعة مجموعة متناثرة في الفضاء التوبولوجي إذا و فقط إذا كان لدينا .
    لندرس المثال الآتي لتوضيح المفهوم :
    في الفضاء التوبولوجي المعتاد ، ليكن لدينا ، و بالتالي :
    و .


    أي أن مجموعة متناثرة .
    تعريف ( المجموعة التامة Perfect Set )



    ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي ، و لتكن ، نقول عن المجموعة بأنها مجموعة تامة إذا و فقط إذا .
    نظرية :
    في أي فضاء توبولوجي ، و لأي مجموعة ، فإن :
    مجموعة تامة إذا و فقط إذ اكان و .
    الإثبات :
    الإتجاه الأول :
    إذا كانت مجموعة تامة ، فإن ، و بالتالي حسب تعريف المجموعة التامة ينتج لدينا .
    جميع النقاط التي في إن كانت داخل فهي نقاط صماء ، و إن كانت خارج فلا يمكن أن تكون نقاط إنعزال و بالتالي :

    الأتجاه العكسي :
    إن كانت مجموعة مغلقة و حسب ، يكون لدينا .
    الآن حسب حقائق و نظريات في الأسفل ، ينتج لدينا أن :
    و بالتالي من حقيقة (3) و أخذ تقاطع للطرفين ، ينتج لدينا :

    و من حقيقة (2) و تعويض مما نتج سابقاً ، ينتج لدينا :

    حقائق و نظريات



    لنرى بعض الحقائق الهامة عما سبق ذكره من التعاريف الهامة :
    ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي و لتكن و بالتالي :
    1) المجموعة ، يكون حاصل اتحاد عناصرها المجموعة و تقاطع أي اثنين من عناصر ، أي أنها تشكل Weak Partition .
    2) المجموعة ، يكون حاصل اتحاد عناصرها المجموعة و تقاطع أي اثنين من عناصر، أي أنها تشكل Weak Partition .
    3) .
    4) ( أي أنها تغلق في داخلها جميع النقط الصماء لها ).
    5) .
    6) .
    7) .
    Cool .
    9)
    10).
    حيث يمكن إثبات كل حقيقة من الحقائق ببضعة أسطر بسيطة ،و هنالك الكثير من الحقائق الرائعة و الجميلة ، و لكن هذه الحقائق تستخدم أكثر من غيرها.( متروك للقارىء ).
    نظرية (1) :
    ليكن لدينا و ليكن فيكون لدينا ما يلي :
    أ‌) المجموعة مجموعة مفتوحة إذا و فقط إذا كان .
    ب‌) المجموعة مجموعة مغلقة إذا و فقط إذا كان .
    ج) تكون المجموعة كلوبن إذا و فقط إذا كان .
    الإثبات (أ) :
    الأتجاه الأول :
    لنفرض بالتناقض أن و بالتالي هنالك نقطة و .
    و بما أن مجموعة مفتوحة و و بالتالي النقطة غير موجودة في و هذا تناقض .
    الإتجاه الآخر :
    بما أن بأخذ تقاطع من الجهتين ، ينتج لدينا :


    و لا يمكن أن تتحقق إلا إن كانت أي أن مجموعة مفتوحة .
    الإثبات (ب) :
    يمكن السير بنفس خطوات الإثبات في (أ) ينتج لدينا التكافىء ( متروك للقارىء) .
    الإثبات (ج) :
    بما أن ، فإن كانت فإن الإتجاه العكسي ينتج مباشرة في التعويض في المساواة.
    و كذلك الأمر بالنسبة للإتجاه الاول ينتج مباشرة بالتعويض بإستثمار لأنها مجموعة كلوبن .
    نظرية (2) :
    في أي فضاء توبولوجي و لأي مجموعة ، فإن الجمل الآتية متكافئة :
    1) المجموعة مجموعة كثيفة .
    2) إذا كانت المجموعة مجموعة مغلقة و كانت فإن .
    3) لأي مجموعة مفتوحة لدينا .
    4) .
    الإثبات :
    يمكن السير بالإثبات بأي طريقة كانت و لكن لنسير بشكل دائري :
    (1) إلى (2) :
    بما أن ، فيجب ، و لكن المجموعة مجموعة مغلقة أي .
    (2) إلى (3) :
    ليكن لدينا مجموعة مفتوحة بحيث ، و بالتالي :
    مجموعة مغلقة و لا تساوي و أيضاً ، و لكن من فرع (2) يجب أن يكون لدينا و هذا تناقض .
    (3) إلى (4) :

    ليكن لدينا ، و بالتالي يوجد لدينا مجموعة مفتوحة بحيث :



    و بالتالي و هذا يناقض (3) .
    (4) إلى (1) :

    نريد إثبات .
    بما أن ، ما تبقى إثبات الإتجاه الآخر .
    ليكن لدينا ، فإن كانت فإنه ينتج الطرف الآخر بشكل مباشر.
    نريد إثبات إن كانت فيجب أن تكون في .
    لنفرض أنها ليست في ، و بالتالي يوجد لدينا مجموع مفتوحة بحيث :
    و .


    و بالتالي ينتج لدينا .
    و لكن الجملة الآخيرة تترجم إلى أن و هذا تناقض مع (4) .
    نظرية (3) :
    ليكن لدينا فضاء توبولوجي ، و لتكن لدينا عائلة من المجموعات الجزئية من ، و بالتالي :
    أ)
    ب)
    الإثبات :
    كل من فرع (أ) و (ب) بسيط في استخدام حقائق بسيطة للمجموعات .
    تمارين :
    ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي و لنعرف بالشكل الآتي :



    لنعتبر :
    جد كل مما يلي :
    1) .
    2) .
    3) تحقق من جميع الحقائق الواردة في هذه الصفحة على إجابتك لفرع (1) و (2) .
    4) قارن هذا التوبولوجي مع أنواع التوبولوجي الهامة ( إن كان يقبل المقارنة ).
    5)هات مجموعتين في الفضاء التوبولوجي السابق بحيث .
    6) أثبت أن و هل .

    المرجع :


    General Topology , Paul Long

    منقول من شبكة الرياضيات رمزاً


    _________________

    أذا ما ذكرت أسمها بت أغفوا


    أعانقها في هدوء الحياء


    وصمت المحبة


    أرشف من هجرها


    نبع روحي


    لتنبت بين ضفائرها قصة


    تقول ألتقينا ...


    والكن ...


    على نصف حلم بكينا


    فتغتصب الشوق

    avatar
    زينب
    مشرف عام قسم الرياضيات
    مشرف عام قسم الرياضيات

    انثى
    عدد الرسائل : 213
    العمر : 32
    البلد : الجزائر
    القسم والمستوى : السنة الرابعة رياضيلت
    المزاج : مطالعة الكتب
    أختر علم دولتك :
      : العلم نور والجهل ظلام
    السٌّمعَة : 0
    نقاط : 287
    تاريخ التسجيل : 12/01/2010

    بطاقة الشخصية
    تخصصي: شريعة وقانون
    المحافظة: الحديدة

    رد: تعاريف و حقائق أساسية في التبلوجيا

    مُساهمة من طرف زينب في الثلاثاء أكتوبر 12, 2010 10:33 pm

    السلام عليكم و رحمة الله و بركاته
    موضوع كافي ووافي عن الطبولوجيا
    شكرا على المجهود الرائع

      الوقت/التاريخ الآن هو الخميس يناير 17, 2019 11:34 pm